第2讲　圆周运动的规律及其应用

1．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s

C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2

解析　角速度为ω＝＝π rad/s，A错误；转速为n＝＝0.5 r/s，B正确；半径r＝＝ m，C正确；向心加速度大小为an＝＝4π m/s2，D正确．

答案　BCD

2．以v0的速度水平拋出一物体，当其水平分位移与竖直分位移相等时，下列说法错误的是(　　)

A．即时速度的大小是v0

B．运动时间是

C．竖直分速度大小等于水平分速度大小

D．运动的位移是

解析 当其水平分位移与竖直分位移相等时，v0t＝gt2，可得运动时间t＝，水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt＝2v0，合速度v＝＝v0，合位移s＝＝，对比各选项可知说法错误的是C选项．

答案 C

3．如图1所示，绳子的一端固定在O点，另一端拴一重物在水平面上做匀速圆周运动(　　)．

图1

A．转速相同时，绳长的容易断

B．周期相同时，绳短的容易断

C．线速度大小相等时，绳短的容易断

D．线速度大小相等时，绳长的容易断

解析　绳子的拉力提供向心力，再根据向心力公式分析．设绳子的拉力为F，则F＝mω2r＝mv2/r，此外，T＝＝，所以，当转速n相同，即是周期或角速度相同时，绳长r越大，拉力F越大，绳子越容易断，选项A正确、B错误；当线速度v相同时，绳长r越小，拉力F越大，绳子越容易断，选项C正确、D错误．

答案　AC

4．如图2所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v.若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是(　　)．

图2

A．受到的向心力为mg＋m

B．受到的摩擦力为μm

C．受到的摩擦力为μ

D．受到的合力方向斜向左上方

解析　物体在最低点受竖直方向的合力Fy，方向向上，提供向心力，Fy＝m，A错误；而Fy＝FN－mg，得FN＝mg＋m，物体受滑动摩擦力Ff＝μFN＝μ，B错误、C正确；Ff水平向左，故物体受到的Ff与Fy的合力，斜向左上方，D正确．

答案　CD

5．如图3是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有(　　)．

图3

A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力

C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小

解析　设滑块到达B点时的速度为v，根据向心力公式得：N－mg＝m，根据机械能守恒定律可得：mgh＝mv2，解得N＝mg，所以B、C正确．

答案　BC

6．如图4所示，相距l的两小球A、B位于同一高度h(l，h均为定值)．将A向B水平抛出的同时，B自由下落．A、B与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反．不计空气阻力及小球与地面碰撞的时间，则(　　)

图4

A．A、B在第一次落地前能否相碰，取决于A的初速度

B．A、B在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰

C．A、B不可能运动到最高处相碰

D．A、B一定能相碰

解析 A、B两球在第一次落地前竖直方向均做自由落体运动，若在落地时相遇，此时A球水平拋出的初速度v0＝，h＝gt2，则v0＝l，只要A的水平初速度大于v0，A、B两球就可在第一次落地前相碰，A正确；若A、B在第一次落地前不能碰撞，则落地反弹后的过程中，由于A向右的水平速度保持不变，所以当A的水平位移为l时，即在t＝时，A、B一定相碰，在t＝时，A、B可能在最高点，也可能在竖直高度h中的任何位置，所以B错误，C错误、D正确．

答案 AD

7．如图5所示，斜轨道与半径为R的半圆轨道平滑连接，点A与半圆轨道最高点C等高，B为轨道的最低点．现让小滑块(可视为质点)从A点开始以速度v0沿斜面向下运动，不计一切摩擦，关于滑块运动情况的分析，正确的是

(　　)．

图5

A．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做自由落体运动

B．若v0＝0，小滑块恰能通过C点，且离开C点后做平抛运动

C．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做自由落体运动

D．若v0＝，小滑块恰能到达C点，且离开C点后做平抛运动

解析　小滑块通过C点的最小速度为vC，由mg＝m，得vC＝，由机械能守恒定律，若A点v0＝0，则vC＝0，实际上滑块在到达C点之前就离开轨道做斜上抛运动了，A、B错；若v0＝，小滑块通过C点后将做平抛运动，C错、D正确．

答案　D

8．如图6所示，长为L的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定在转轴O，现使小球在竖直平面内做圆周运动，P为圆周的最高点，若小球通过圆周最低点时的速度大小为 ，忽略摩擦阻力和空气阻力，则以下判断正确的是(　　)．

图6

A．小球不能到达P点

B．小球到达P点时的速度大于

C．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向上的弹力

D．小球能到达P点，且在P点受到轻杆向下的弹力

解析　要使小球到达P点，由机械能守恒定律有：mv2＝mg·2L，可知它在圆周最低点必须具有的速度为v>2，而 >2，所以小球能到达P点；由机械能守恒定律可知小球到达P点的速度为 ；由于 <，则小球在P点受到轻杆向上的弹力．

答案　C

9．如图7所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘为L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘以垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是(　　)．

图7

A．dv＝L2g

B．ωL＝π(1＋2n)v0，(n＝0,1,2,3，…)

C．v0＝ω

D．dω2＝gπ2(1＋2n)2，(n＝0,1,2,3，…)

解析　依题意飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝，B正确、C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2，A、D错误．

答案　B

10．如图8所示，甲、乙两水平圆盘紧靠在一块，甲圆盘为主动轮，乙靠摩擦随甲转动无滑动．甲圆盘与乙圆盘的半径之比为r甲∶r乙＝3∶1，两圆盘和小物体m1、m2之间的动摩擦因数相同，m1距O点为2r，m2距O′点为r，当甲缓慢转动起来且转速慢慢增加时(　　)．

图8

A．滑动前m1与m2的角速度之比ω1∶ω2＝3∶1

B．滑动前m1与m2的向心加速度之比a1∶a2＝1∶3

C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动

D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动

解析　由题意可知，线速度v甲＝v乙，又r甲∶r乙＝3∶1，则ω甲∶ω乙＝1∶3，m1、m2随甲、乙运动ω1＝ω甲，ω2＝ω乙，则ω1∶ω2＝1∶3，故A错；由a＝rω2得a1＝2rω＝2rω，a2＝rω＝rω，a1∶a2＝2ω∶ω＝2∶9，故B错；m1、m2所受向心力由摩擦力提供，则a1＝，a2＝，f1max＝μm1g，f2max＝μm2g，a1≤μg，a2≤μg，又a1∶a2＝2∶9，故m2先滑动，选D.

答案　D

11． 如图9所示，一小球自平台上水平抛出，恰好无碰撞地落在邻近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：

(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？

(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？

图9

解析

(1)由题意知，小球落到斜面上沿斜面下滑，并未弹起，说明此时小球的速度方向与斜面平行，如图所示，所以vy＝v0tan 53°，又v＝2gh，代入数据得vy＝4 m/s，v0＝3 m/s.

(2)设小球离开平台到达斜面顶端所需时间为t1，

由vy＝gt1得t1＝0.4 s，

则x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m

答案：(1)3 m/s　(2)1.2 m

12．如图10所示，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)．已知圆弧的半径R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A点时的速度vA＝4 m/s.(取g＝10 m/s2)求：

图10

(1)小球做平抛运动的初速度v0；

(2)P点与A点的水平距离和竖直高度；

(3)小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．

解析　

(1)小球到A点的速度如图所示，小球做平抛运动的初速度v0等于vA的水平分速度．

由图可知v0＝vx＝vAcos θ＝4×cos 60°＝2 m/s.　

(2)由图可知，小球运动至A点时竖直方向的分速度为vy＝vAsin θ＝4×sin 60°＝2 m/s，

设P点与A点的水平距离为x，竖直高度为h，则

vy＝gt，v＝2gh，

x＝v0t，联立以上几式解得x≈0.69 m，h＝0.6 m．(3)取A点为重力势能的零点，由机械能守恒定律得

mv＝mv＋mg(R＋Rcos θ)，

代入数据得vC＝ m/s

设小球到达圆弧最高点C时，轨道对它的弹力为FN，由圆周运动向心力公式得FN＋mg＝m，

代入数据得FN＝8 N，

由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小FN′＝FN＝8 N，方向竖直向上．

答案　(1)2 m/s　(2)0.69 m　0.6 m　(3)8 N　方向竖直向上

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