第3讲　机械能守恒定律及其应用

1．将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)．

A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J

B．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J

C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J

D．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J

答案　C

2．如图1所示，a、b两物块质量分别为m、2m，用不计质量的细绳相连接，

悬挂在定滑轮的两侧，不计滑轮质量和一切摩擦．开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后突然由静止释放，直至a、b物块间高度差为h.在此过程中，下列说法正确的是(　　)

图1

A．物块a的机械能守恒

B．物块b机械能减少了mgh

C．物块b重力势能的减少量等于细绳拉力对它所做的功

D．物块a重力势能的增加量小于其动能增加量

解析：物块a受重力、绳的拉力作用，其中拉力做正功，则a的机械能增加，选项A错误；物块b受重力、绳的拉力作用，其中拉力做负功，则b的机械能减少；a、b系统只有重力做功，其机械能守恒，有(2m－m)g＝(m＋2m)v，即gh＝3v；b机械能减少了ΔE＝2mg－(2m)v＝mgh，选项B正确；a的重力势能的增加量mg>mv，选项D错误；根据动能定理，对b有－WT＋WG＝mv，即WG＝mv＋WT，选项C错误．

答案：B

3．如图2所示，一个物体以速度v0冲向竖直墙壁，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中下列说法中正确的是(　　)．

图2

A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比

B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等

C．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小

D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加

解析　物体对弹簧做功，物体的动能转化为弹簧的弹性势能，由W＝kx2，所以物体对弹簧做的功与弹簧压缩量的平方成正比，由于弹簧的弹力不断增大，物体向墙壁运动相同位移，弹力做功不相等．

答案　BD

4．如图3所示是全球最高的(高度208米)北京朝阳公园摩天轮，一质量为m的乘客坐在摩天轮中以速率v在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，假设t＝0时刻乘客在轨迹最低点且重力势能为零，那么，下列说法正确的是(　　)．

图3

A．乘客运动的过程中，重力势能随时间的变化关系为Ep＝mgR

B．乘客运动的过程中，在最高点受到座位的支持力为m－mg

C．乘客运动的过程中，机械能守恒，且机械能为E＝mv2

D．乘客运动的过程中，机械能随时间的变化关系为E＝mv2＋mgR

解析　在最高点，根据牛顿第二定律可得，mg－N＝m，受到座位的支持力为N＝mg－m，B项错误；由于乘客在竖直平面内做匀速圆周运动，其动能不变，重力势能发生变化，所以乘客在运动的过程中机械能不守恒，C项错误；在时间t内转过的角度为t，所以对应t时刻的重力势能为Ep＝mgR，总的机械能为E＝Ek＋Ep＝mv2＋mgR，A、D两项正确．

答案　AD

5．如图4所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的

圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是(　　)

图4

A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒

B．从A到B的过程中，小球的机械能减少

C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m

D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m

解析：从A到B的过程中，因弹簧对小球做负功，小球的机械能将减少，A错误、B正确；在B点对小球应用牛顿第二定律可得：FB－mg＝m，解得FB＝mg＋m，C正确、D错误．

答案：BC

6．某短跑运动员采用蹲踞式起跑，在发令枪响后，左脚迅速蹬离起跑器，在向前加速的同时提升身体重心．如图5所示，假设质量为m的运动员，在起跑时前进的距离s内，重心上升高度为h，获得的速度为v，阻力做功为W阻、重力对人做功W重、地面对人做功W地、运动员自身做功W人，则在此过程中，下列说法中不正确的是(　　)

图5

A．地面对人做功W地＝mv2＋mgh

B．运动员机械能增加了mv2＋mgh

C．运动员的重力做功为W重＝－mgh

D．运动员自身做功W人＝mv2＋mgh－W阻

解析　由动能定理可知W地＋W阻＋W重＋W人＝mv2，其中W重＝－mgh，所以W地＝mv2＋mgh－W阻－W人，选项A不正确；运动员机械能增加量ΔE＝W地＋W阻＋W人＝mv2＋mgh，选项B正确；重力做功W重＝－mgh，选项C正确；运动员自身做功W人＝mv2＋mgh－W阻－W地，选项D不正确．

答案　AD

7．如图6所示，A、B两物块质量均为m，用一轻弹簧相连，将A用长度适当的轻绳悬挂于天花板上，轻绳为伸直状态，B物块在力F的作用下处于静止状态，弹簧被压缩．现将力F撤去，已知弹簧的弹性势能仅与形变量大小有关，且弹簧始终在弹性限度内，则下列说法正确的是(　　)．

图6

A．弹簧恢复原长时B的速度最大

B．A一直保持静止

C．在B下降过程中弹簧弹性势能先减小，后增大

D．F撤去之前，绳子的拉力不可能为0

解析　由题干信息可知，在B下降过程中，B和弹簧构成的系统满足机械能守恒，弹簧弹性势能先减小，后增大，B的动能先增大后减小，当弹簧向上的弹力大小等于B物体的重力时，B的速度最大，A错、C对；根据受力分析可知A一直保持静止，B对；由于不知道F的大小以及弹簧的弹力，所以无法判定F撤去之前，绳子的拉力是否为零，D错．

答案　BC

8．如图7所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面相垂直．放手后开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是(　　)．

图7

A．A处小球到达最低点时速度为0

B．A处小球机械能的减少量等于B处小球机械能的增加量

C．B处小球向左摆动所能达到的最高位置应高于A处小球开始运动时的高度

D．当支架从左向右回摆时，A处小球能回到起始高度

解析　因A处小球质量大，位置高，所以图中所示三角支架处于不稳定状态，释放后支架就会向左摆动．摆动过程中只有小球受到的重力做功，故系统的机械能守恒，B、D正确；设支架边长是L，则A处小球到最低点时小球下落的高度为L，B处小球上升的高度也是L，但A处小球的质量比B处小球的大，故有mgL的重力势能转化为小球的动能，因而此时A处小球的速度不为0，A错误；当A处小球到达最低点时有向左运动的速度，还要继续向左摆，B处小球仍要继续上升，因此B处小球能达到的最高位置比A处小球的最高位置还要高，C正确．

答案　BCD

9．将一小球从高处水平抛出，最初2 s内小球动能Ek随时间t变化的图象如图8所示，不计空气阻力，取g＝10 m/s2.根据图象信息，不能确定的物理量是

(　　)．

图8

A．小球的质量

B．小球的初速度

C．最初2 s内重力对小球做功的平均功率

D．小球抛出时的高度

解析　由mv＝5 J和机械能守恒：30 J－5 J＝mgh，结合h＝gt2＝g×22＝20 m，解得：m＝ kg，v0＝4 m/s.最初2 s内重力对小球做功的平均功率＝＝12.5 W．小球抛出时的高度无法确定，故应选D.

答案　D

10．如图9所示，两个竖 直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑．在两轨道右侧的正上方分别将金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA和hB，下列说法正确的是(　　)．

图9

A．若使小球A沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为

B．若使小球B沿轨道运动并且从最高点飞出，释放的最小高度为

C．适当调整hA，可使A球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处

D．适当调整hB，可使B球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处

解析　小球A从最高点飞出的最小速度vA＝，由机械能守恒，mghA＝2mgR＋mv，则hA＝，A选项正确；小球B从最高点飞出的最小速度vB＝0，由机械能守恒，mghB＝2mgR，释放的最小高度hB＝2R，B选项错误；要使小球A或B从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，R＝v0t，R＝gt2，则v0＝ ，而A的最小速度vA＝>v0，A球不可能落在轨道右端口处，B球可能，C选项错误、D选项正确．

答案　AD

11．山地滑雪是人们喜爱的一项体育运动，一滑雪坡 由AB和BC组成，AB

是倾角为37°的斜坡，BC是半径为R＝5 m的圆弧面，圆弧面和斜面相切于B，与水平面相切于C，如图10所示，AB竖直高度差h＝8.8 m，运动员连同滑雪装备总质量为80 kg，从A点由静止滑下通过C点后飞落(不计空气阻力和摩擦阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．求：

图10

(1)运动员到达C点的速度大小；

(2)运动员经过C点时轨道受到的压力大小．

解析 (1)由A→C过程，应用机械能守恒定律得：

mg(h＋Δh)＝mv，又Δh＝R(1－cos 37°)，

可解得：vC＝14 m/s.

(2)在C点，由牛顿第二定律得：

FC－mg＝m

解得：FC＝3 936 N.

由牛顿第三定律知，运动员在C点时对轨道的压力大小为3 936 N.

答案 (1)14 m/s　(2)3 936 N

12．光滑曲面轨道置于高度为H＝1.8 m的平台上，其末端切线水平；另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间，构成倾角为θ＝37°的斜面，如图11所示．一个可视作质点的质量为m＝1 kg的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8)

图11

(1)若小球从高h＝0.2 m处下滑，则小球离开平台时速度v0的大小是多少？

(2)若小球下滑后正好落在木板的末端，则释放小球的高度h为多大？

(3)试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能与它下滑高度h的关系表达式，并在图12中作出Ekh图象．

图12

解析　(1)小球从曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律知：mgh＝mv ①

得v0＝＝ m/s＝2 m/s.

(2)小球离开平台后做平抛运动，小球正好落在木板的末端，则H＝gt2 ②

＝v1t ③

联立②③两式得：v1＝4 m/s

设释放小球的高度为h1，则由mgh1＝mv

得h1＝＝0.8 m.

(3)由机械能守恒定律可得：mgh＝mv2

小球由离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则：y＝gt2 ④

x＝vt ⑤

tan 37°＝ ⑥

vy＝gt ⑦

v＝v2＋v ⑧

Ek＝mv ⑨

mgh＝mv2 ⑩

由④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式得：Ek＝32.5h

考虑到当h>0.8 m时小球不会落到斜面上，其图象如图所示

答案　(1)2 m/s　(2)0.8 m　(3)Ek＝32.5h　图象见解析

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