高考计算题58分练(1)

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1.特种兵过山谷的一种方法可简化为如图所示的模型：将一根长为2d、不可伸长的细绳的两端固定在相距为d的A、B两等高处，细绳上有小滑轮P，战士们相互配合，可沿着细绳滑到对面。开始时，战士甲拉住滑轮，质量为m的战士乙吊在滑轮上，处于静止状态，AP竖直。(不计滑轮与绳的质量，不计滑轮的大小及摩擦，重力加速度为g)

(1)若甲对滑轮的拉力沿水平方向，求拉力的大小。

(2)若甲将滑轮由静止释放，求乙在滑动中速度的最大值(结果可带根式)。

【解析】(1)设BP与竖直方向的夹角为θ，由几何关系

+
=2d

联立三角函数关系解得：

sinθ=0.8，cosθ=0.6，tanθ=

如图所示，对滑轮受力分析，

由平衡条件得：

mg=T+Tcosθ；F=Tsinθ，

解得：F=
。

(2)设AP的长度为l，

则：l=
=0.75d

乙在最低点时有最大速度v，

设此时乙距AB的高度为h。

则h2=d2-(
)2

由机械能守恒定律得：

mg(h-l)=
mv2

得v=
。

答案：(1)
　(2)

2.(2014·台州二模)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R。用质量为m=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点(弹簧原长位置)后做匀减速直线运动，其位移与时间的关系为x=6t-2t2，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道。g=10m/s2，求：

(1)BP间的水平距离。

(2)判断m能否沿圆轨道到达M点。

【解析】(1)设物块由D点以初速度vD做平抛运动，落到P点时其竖直速度为vy=
，

=tan45°得vD=4m/s

平抛运动用时为t，水平位移为s，

R=
gt2，s=vDt

得D、P的水平距离s=2R=1.6m

在桌面上过B点后初速度v0=6m/s，

加速度a=-4m/s2，减速到vD=4m/s，

BD间位移为s1=
=2.5m，

则BP间的水平距离为s+s1=4.1m

(2)若物块能沿轨道到达M点，其速度为vM，

m
=
m
-
mgR

轨道对物块的压力为FN，

则FN+mg=m

解得FN=(1-
)mg<0，

即物块不能到达M点

答案：(1)4.1m　(2)见解析

3.如图所示，在矩形ABCD区域内，对角线BD以上的区域存在平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未标出)，AD边长为L，AB边长为2L。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子(重力不计)以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，在对角线BD的中点P处进入磁场，并从DC边上以垂直于DC边的速度离开磁场(图中未画出)，求：

(1)电场强度E的大小和带电粒子经过P点时速度v的大小和方向。

(2)磁场的磁感应强度B的大小和方向。

【解析】(1)带电粒子在电场中做类平抛运动，

则水平方向：L=v0t；

竖直方向：
L=
t2；

解得：E=

竖直方向粒子做匀变速运动，竖直分速度为vy，

则2
=
，

代入数据得：vy=v0；

P点的速度为v=
v0

速度与水平方向的夹角为θ

tanθ=
=1，所以θ=45°。

(2)由几何关系可知：

粒子在磁场中转过的圆心角为45°；

由sin45°=
，解得：r=
L；

粒子在磁场中做匀速圆周运动qvB=m

解得B=
，磁场方向垂直纸面向外。

答案：(1)
　
v0，与水平方向的夹角为45°

(2)
，方向垂直纸面向外

4.(2014·宁波二模)在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图所示。不计粒子重力，求：

(1)M、N两点间的电势差UMN。

(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r。

(3)粒子从M点运动到P点的总时间t。

【解析】(1)粒子由N点进入磁场中时，tan60°=

分析可知：vy=
v0

UMN·q=
m

UMN=
=

(2)粒子在磁场中的速度为

v=
=2v0

qvB=m

其轨道半径为：r=
=

(3)设粒子在电场中的时间为t1，在磁场中的时间为t2

在电场中：t1=
=
=

在磁场中：qvB=m
，

T=

粒子做匀速圆周运动的周期为：T=

转过的圆心角为：θ′=120°

则t2=
=

t总=t1+t2=
+
=

答案：(1)
　(2)
　(3)

5.(2014·丽水二模)如图所示，两平行导轨间距L=0.1m，足够长光滑的倾斜部分和粗糙的水平部分圆滑连接，倾斜部分与水平面的夹角θ=30°，垂直斜面方向向上的磁场的磁感应强度B=0.5T，水平部分没有磁场。金属棒ab质量m=0.005kg，电阻r=0.02Ω，运动中与导轨有良好接触，并且垂直于导轨，电阻R=0.08Ω，其余电阻不计，当金属棒从斜面上离地高h=1.0m以上任何地方由静止释放后，在水平面上滑行的最大距离x都是1.25m(取g=10m/s2)。求：

(1)棒在斜面上的最大速度。

(2)水平面的动摩擦因数。

(3)从高度h=1.0m处滑下后电阻R上产生的热量。

【解析】(1)由题意知金属棒从离地高h=1.0m以上任何地方由静止释放后，在到达水平面之前已经开始匀速运动。

设最大速度为v，则感应电动势E=BLv

感应电流I=

安培力F=BIL

匀速运动时，有mgsinθ=F

解得v=1.0m/s

(2)在水平面上运动时，金属棒所受滑动摩擦力f=μmg

金属棒在摩擦力作用下做匀减速运动，有f=ma

v2=2ax

解得μ=0.04

(用动能定理同样可以解答)

(3)下滑的过程中，由动能定理可得：

mgh-W=
mv2

安培力所做的功等于电路中产生的焦耳热，有W=Q

电阻R上产生的热量：QR=
Q

解得QR=3.8×10-2J

答案：(1)1.0m/s　(2)0.04　(3)3.8×10-2J

6.(2014·湖州二模)如图甲所示，两根足够长的平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m，导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B，金属导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱R2相连。不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g，现闭合开关S，将金属棒由静止释放。

(1)判断金属棒ab中电流的方向。

(2)若电阻箱R2接入电路的阻值为R2=2R1，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻R1上产生的焦耳热Q1。

(3)当B=0.40T、L=0.50m、α=37°时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系如图乙所示。取g=10m/s2，sin37°=0.60，cos37°=0.80。求定值电阻R1的阻值和金属棒的质量m。

【解析】(1)由右手定则，金属棒ab中的电流方向为从b到a。

(2)由能量守恒，金属棒减小的重力势能等于增加的动能和电路中产生的焦耳热

mgh=
mv2+Q，

解得Q=mgh-
mv2

由R2=2R1，则R1上产生的焦耳热为

Q1=
mgh-
mv2。

(3)最大速度为vm，切割磁感线产生的感应电动势E=BLvm，由闭合电路的欧姆定律：I=
，从b端向a端看，金属棒受力如图。

金属棒达到最大速度时满足mgsinα-BIL=0

由以上各式得：vm=
R2+
R1。

由图像可知：

斜率k=
m/(s·Ω)=15 m/(s·Ω)，

纵截距为v0=30m/s，得到：

R1=v0，
=k

解得：R1=2.0Ω，m=0.1kg。

答案：(1)方向为从b到a　(2)
mgh-
mv2

(3)2.0Ω　0.1 kg