甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.设集合A={x|x>a},集合B={-1,1,2},若A∩B=B,则实数a的取值范围是

A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

2.已知复数
为纯虚数，那么实数

（A）
（B）
（C）
（D）

3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取
的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A.
，
B.
，
C.
，
D.
，

4. 已知等差数列
前9项的和为27,
,则
（ ）

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

5. 设函数
,
( )

A．3 B．6 C．9 D．12

6. 如图，网格纸上小正方形的边长为
，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：
的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=　　　　（　　）

A、2 B、
C、6 D、

8. 执行如图所示的程序框图，若输入
的值为3，则输出的
的值是（ ）

A．1 B．2 C．4 D．7

9. 甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 函数
的图象大致为（ ）

11. 已知抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离不大于
，则双曲线
的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 设
是定义在
上的偶函数，对任意的
，都有
，且当
时，
．若在区间
内关于
的方程
恰有3个不同的实数根，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .

14. 若
，
满足
则
的最大值为

15. 在
的展开式中，
的系数为__________________.（用数字作答）

16. 若等比数列
的各项均为正数，且
，则
.

三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.已知函数
．

(Ⅰ) 求
的最小正周期；

(Ⅱ) 求
在区间
上的最小值．

18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取
后和
后作为调查对象,随机调查了
位,得到数据如下表：

（Ⅰ）以这
个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市
后公民中随机抽取
位,记其中生二胎的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）根据调查数据,是否有
以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由：

参考数据：

（参考公式：
,其中
）

19. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C－PB－D的大小.

20．（本小题满分14分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
．

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得
成立？若存在，求出实数
的取值范围，若不存在，请说明理由.

21.已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.

(Ⅰ)当a＝1时，判断f(x)的单调性；

(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》

已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,

AC∥DE,AC与BD相交于H点

(1)求证:BD平分∠ABC;

(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.

23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》 已知直线l的参数方程为
(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．

(1)求直线l的倾斜角和曲线
的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，设点
,求
.

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（Ⅰ）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若
，使得
，求实数
的取值范围．

甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题答案

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. D 2.C 3.A 4. C 5.C 6.D

7.C 8.C 9.B 10.D 11.B 12.A

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
14. 2 15. 60 16. 50

三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.已知函数
．

(Ⅰ) 求
的最小正周期；

(Ⅱ) 求
在区间
上的最小值．

【答案】（1）
，（2）

(Ⅰ)

………6分

(1)
的最小正周期为
；

(2)
，当
时，

取得最小值为：
………12分

18．2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取
后和
后作为调查对象,随机调查了
位,得到数据如下表：

（1）以这
个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市
后公民中随机抽取
位,记其中生二胎的人数为
,求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）根据调查数据,是否有
以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由：

参考数据：

（参考公式：
,其中
）

19. （本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

(1)证明PA∥平面EDB；

(2)证明PB⊥平面EFD；

(3)求二面角C－PB－D的大小.

(1)证明　如图所示，

连接AC，AC交BD于O，连接EO.

∵底面ABCD是正方形，

∴点O是AC的中点.

在△PAC中，EO是中位线，

∴PA∥EO.

而EO?平面EDB且PA?平面EDB，

∴PA∥平面EDB. ………4分

(2)证明　∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，

∴PD⊥DC.∵PD＝DC，可知△PDC是等腰直角三角形.

而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC.①

同样，由PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，

得PD⊥BC.

∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC.又PD∩CD＝D，

∴BC⊥平面PDC.

而DE?平面PDC，∴BC⊥DE.②

由①和②且PC∩BC＝C可推得DE⊥平面PBC.

而PB?平面PBC，∴DE⊥PB.

又EF⊥PB且DE∩EF＝E，

∴PB⊥平面EFD. ………8分

(3)解　由(2)知，PB⊥DF.

故∠EFD是二面角C－PB－D的平面角.

由(2)知DE⊥EF，PD⊥DB.

设正方形ABCD的边长为a，

则PD＝DC＝a，BD＝a，

PB＝＝a，

PC＝＝a，

DE＝PC＝a，

在Rt△PDB中，DF＝＝＝a.

在Rt△EFD中，sin∠EFD＝＝，

∴∠EFD＝60°.

∴二面角C－PB－D的大小为60°. ………12分

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
：
，使得
成立？若存在，求出实数
的取值范围，若不存在，请说明理由.

解析：（1）设椭圆
的方程为

，半焦距为
. 依题意
，由右焦点到右顶点的距离为
，得
．解得
，
．所以
．

所以椭圆
的标准方程是
．………4分

（2）解：存在直线
，使得
成立.理由如下：

由
得
．

，化简得
．

设
，则
，
．

若
．所以
．
，

，
,

化简得，
．将
代入
中，
，解得，
．又由
，
，

从而
，
或
．

所以实数
的取值范围是
． …12分

21.已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝f(x)＋ax－6lnx，其中a∈R.

(1)当a＝1时，判断f (x)的单调性；

(2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；

解：(1)由f(x)＝lnx－，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，

当a＝1时，f′(x)＝>0(x>0)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．………5分

(2)由已知得，g(x)＝ax－－5lnx，其定义域为(0，＋∞)，

g′(x)＝a＋－＝.

因为g(x)在其定义域内为增函数，所以?x∈(0，＋∞)，

g′(x)≥0，即ax2－5x＋a≥0，即a≥.

而＝≤，当且仅当x＝1时，等号成立，

所以a≥. ………12分

22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》

已知A、B、C、D为圆O上的四点,直线DE为圆O的切线,

AC∥DE,AC与BD相交于H点

(1)求证:BD平分∠ABC;

(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH的长.

22.解: 证明:(1)∵AC∥DE,∴?CDE=?DCA,又∵?DBA=?DCA,∴?CDE=?DBA

∵直线DE为圆O的切线,∴?CDE=?DBC

故?DBA=?DBC,即BD平分∠ABC …………………………………5分

(2)∵?CAB=?CDB,且?DBA=?DBC,∴?ABH∽?DBC,∴=

又?EDC=?DAC=?DCA,∴AD=DC ……………………………8分

∴=, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 ……………………………10分

23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》

已知直线l的参数方程为
(t为参数)，若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－)．

(1)求直线l的倾斜角和曲线
的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，设点
,求
.

解　(1)直线l倾斜角为
……………2分

曲线C的直角坐标方程为(x－)2＋(y－)2＝1……………5分

(2)容易判断点
在直线
上且在圆C内部，所以
……………6分

直线l的直角坐标方程为y＝x＋……………8分

所以圆心(，)到直线l的距离d＝.所以|AB|＝，即
……………10分

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）若不等式
的解集为
，求实数
的值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，若
，使得
，求实数
的取值范围．

解：（Ⅰ）∵
，∴
,

∵
的解集为
，∴
，∴
．………5分

（Ⅱ）∵
,

∵
，使得
，即
成立，

∴
，即
，解得
，或
,

∴实数
的取值范围是
．………10分

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/