衡阳市八中2017届高三第二次月考试卷

文科数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、已知
是虚数单位，则
在复平面上对应的点是（ C ）

A.(1，0) B.(0，1) C.(1，1) D.（1，-1）

2. 函数
的单调减区间是 ( D )

A.(2,+∞) B.(0,2) C.(
,+∞) D.(0,
)

3.判断下列四个命题：①若
则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
.其中正确的个数是( A　)

A．1 　B．2 C．3 D．4

4．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，则下列判断正确的是（　C　）

A．在区间（﹣3，1）上y=f（x）是增函数 B．在区间（1，3）上y=f（x）是减函数

C．在区间（4，5）上y=f（x）是增函数 D．在x=2时y=f（x）取到极小值

【解答】解：由图象可知，

当﹣3≤x＜﹣
时， f′（x）＜0；

当﹣
＜x＜2时，f′（x）＞0；

当2＜x＜4时，f′（x）＜0；

当4＜x＜5时，f′（x）＞0；

故函数y=f（x）在（﹣3，﹣
），（2，4）上是减函数，

在（﹣
，2），（4，5）上是增函数；

在x=2时取得极大值；

故选：C．

5、若
，则
( D )

A.
B.
C.
D.

6、已知单位向量
（ B ）

A．2 B．3 C．9 D．13

【答案】3

试题分析：因为
所以

7 ．函数
的部分图象如图所示,则
的值分别是（B ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
中，内角
的对边分别为
，若
，
，则
的周长的最大值为（ D ）

A.
B. 6 C.
D. 9

9、已知
的三个内角为
，若函数
有一零点为1， 则
一定是（ A ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

10、已知命题

，函数
的值大于
．若
是真命题，则命题
可以是（ C ）

A．
，使得

B．“
”是“函数
在区间
上有零点”的必要不充分条件.

C．
是曲线
的一条对称轴

D．若
，则在曲线
上任意一点处的切线的斜率不小于

11、 函数
的图象大致为（ D ）

12、若实数
的取值使函数
在定义域上有两个极值点，则叫做函数
具有

“凹凸趋向性”，已知
是函数
的导数，且
，当函数
具有“凹凸趋向性”时，
的取值范围是（ ）

A、
B、
C、
D、

二、填空题：

13.若函数
是R上的单调递增函数，则
的取值范围是____
__________.

14.若直线
与曲线
满足下列两个条件：

直线
在点
处与曲线
相切；
曲线
在
附近位于直线
的两侧，则称直线
在点
处“切过”曲线
.

下列命题正确的是____ _____(写出所有正确命题的编号)

①直线
在点
处“切过”曲线
：

②直线
在点
处“切过”曲线
：

③直线
在点
处“切过”曲线
：

④直线
在点
处“切过”曲线
：

⑤直线
在点
处“切过”曲线
：

15、若函数
是周期为4的奇函数，且在
上的解析式为
，则
.

考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数求值.

16.如图，边长为
的正方形
的顶点
，
分别在两条

互相垂直的射线
，
上滑动，则
的最大值为 8

三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在
中，角A,B,C的对边分别为
,且
.

（1）求A的大小

（2）若
的面积.

解法二，由正弦定理得：2sinAcosB=2sinC-sinB=2sin(A+B)-sinB

即：2cosAsinB=sinB

(2)

18.为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策.为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选对70后和80后年龄的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”“不支持生二胎”和“保留意见”态度的人数如下表所示.

支持

保留

不支持



80后

780

420

200



70后

120

180

300



在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，其中持“支持”态度的有36人，求n的值；

（2）在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有一个80后的概率.

解：（1）所有参与调查的人数为780+120+420+180+200+300=2000

由分层抽样的特点知

(2)

19．如图所示，在正三棱柱
中，
，
是
上的一点，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）在棱
上是否存在一点
，使直线
平面
？若存在，找出这个点，并加以证明，若不存在，请说明理由.

试题解析：（1）证明：因为
是正三棱柱，

所以
平面
，所以
，又
，
,

所以
平面
，所以
，所以
是
的中点.

如图，连接
，设与
相交于点
，则点
为
的中点，

连接
，则在
中，因为
分别是
的中点，

所以
，又
在平面
内，
不在平面
内，

所以
平面
.

（2）存在这样的点
，且点
为
的中点，

下面证明：由（1）知
平面
，故
，

设
与
相交于点
，由于
≌
，故
,

因为
，从而
∽
，

所以
，所以
.

因为
，所以
平面

20．已知向量
＝，
＝(cos x，－1)．

(1)当
∥
时，求cos2x－sin 2x的值；

(2)设函数f(x)＝2(
＋
)·
，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求f(x)＋4cos的取值范围．

解　(1)因为a∥b，

所以cos x＋sin x＝0，

所以tan x＝－.

cos2x－sin 2x＝＝＝.

(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin＋.

由正弦定理＝，得

sin A＝，所以A＝，或A＝.

因为b＞a，所以A＝.

f(x)＋4cos＝sin－，

因为
，所以2x＋∈
，

≤f(x)＋4cos≤－.

∴所求范围是
.

21.设函数
是定义域为R的奇函数.

（1）求k的值；

（2）若
，试判断函数的单调性，并求使不等式
恒成立

的t的取值范围；

（3）若
上的最小值为
，求m的值.

解：（1）
，k=2

（2）由（1）知

，
在R上是增函数， 故f(x)在R上是单调递减，

不等式

恒成立，

解得-3

(3)

综上可知，m=2

22．设函数

【答案】（1）
；（2）实数
的取值范围为
.

【解析】

试题分析：（1）求导
，再由条件
，从而可求得
；

（2）由（1）得
，
，因此需对
的取值分以下三种

情况分类讨论：①当
时，要使得
在
上有且只有两个零点，只需

，

②当
时，求导确定零点个数，

③当
时，求导确定零点个数.

试题解析：（1）
， 2分

∵
，
，∴
； 3分

（2）由（1）得
，
，

①当
时，由
得
，由
得
，此时
在
上单调递减，在
上单调递增，∵
，

（或当
时，
亦可）∴要使得
在
上有且只有两个零点，

则只需

，即
， 6分

②当
时，由
得
或
；由
得
.此时
在
上单调递减，在
和
上单调递增， 此时
，∴此时
在
至多只有一个零点，不合题意， 9分

③当
时，由
得
或
，由
得
，此时
在
和
上单调递增，在
上单调递减，且
，∴
在
至多只有一个零点，不合题意.

综上所述，实数
的取值范围为
. 12分

考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.函数的零点；3.分类讨论的数学思想.

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/