2017届高三娄底市五校10月份联考

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。时量120分钟。满分150分。

第 Ⅰ 卷

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1、已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则?U（M∪P）=（　　）。

A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}

2、若Z=
﹣i，则|Z|=（　　）。

A．

B．

C．

D．2

3、已知
是平面向量,如果
,那么
与
的数量积等于（ ）。

A．
B．
C．
D．

4、在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）

A．
日 B．
日 C．
日 D．
日

5、已知
，
，且
，则（ ）。

A.
B.
C.
D.
[:.]

6、数列{an}中，a1=2，an+1=an+
（n∈N*），则a10=（　　）。

A．

B．

C．

D．4

7、函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可以是（ ）。

A．
B．
C．
D．

8、若
，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

9、已知等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

10、、已知函数f（x）=3cos（
﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为

，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（　　）。

A．[0，

] B．[

，π] C．[

，

] D．[

，

]

11、若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B. C．[1，2) D.

12、已知函数f(x)=2mx3?3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则ln2m+ln2n的最小值为（ ）。

A、
B、
C、
D、

第 Ⅱ 卷

本卷包括必考题和选做题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号上。

13、曲线
在点
处的切线方程为 。

14、执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 。

15、如图，在边长为1的正方形
中任取一点，则该点落在阴影部分中

的概率为 ．

16、我们把形如
（
）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为 “囧函数”，并把其与
轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当
，
时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）设
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积。

18、（本小题满分12分）已知等差数列
满足：
，且
、
、
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式.

（2）记
为数列
的前
项和，是否存在正整数
，使得
若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.

19、（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=
，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．

（Ⅰ） 求证：EF∥BC；

（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．

20、（本小题满分12分）如图，抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P1，P2，过P1，P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥P2Q．

（1）求抛物线C和圆Q的方程；

（2）过点F作倾斜角为θ（
≤θ≤
）的直线l，且直线l与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN||AB|的最小值．

21、（本小题满分12分）已知函数g（x）=
+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），

f（x）=mx﹣
﹣lnx（m∈R）．

（Ⅰ）求θ的值；

（Ⅱ）若f（x）﹣g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）设h（x）=
，若在[1，e]上至少存在一个x0，使得f（x0）﹣g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范围．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22、（本小题满分12分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为
（θ为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=
（ρ∈R）．

（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；

（Ⅱ）求直线l被曲线C截得的线段长．

23、（本小题满分12分）选修4—5：不等式 选讲

关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．

（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；

（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

2017届高三娄底市五校10月份联考试题

数 学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1、已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则?U（M∪P）=（　　）。

A．{x|1＜x＜2} B．{x|x≥1} C．{x|x≤2} D．{x|x≤1或x≥2}

解：M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，∴M∪P={x|x≤1或x≥2}，?U（M∪P）={x|1＜x＜2}，

故选：A．

2、若Z=
﹣i，则|Z|=（　　）。

A．

B．

C．

D．2

解：Z=
+i=
+i=
﹣
i，∴|Z|=
=

，

故选：B．

3、已知
是平面向量,如果
,那么
与
的数量积等于（ ）。

A．
B．
C．
D．

解：由题设可得
,即
,也即
,故

故选：A．

4、在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有—段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，曰增十三里：驽马初日行九十七里，曰减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？（ ）

A．
日 B．
日 C．
日 D．
日

解：D

5、已知
，
，且
，则（ ）。

A.
B.
C.
D.

6、数列{an}中，a1=2，an+1=an+
（n∈N*），则a10=（　　）。

A．

B．

C．

D．4

选：C．

7、函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可以是（ ）。

A．
B．
C．
D．

解：由题意得，函数
是奇函数，淘汰D，函数
图象过原点，淘汰C，过
，淘汰A，故选B.

8、若
，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

9、已知等比数列
的第
项是二项式
展开式的常数项，则
（ ）。

A．
B．
C．
D．

解：
，
，
，故答案为D.

10、、已知函数f（x）=3cos（
﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为

，则下列为函数f（x）的单调递减区间的是（　　）。

A．[0，

] B．[

，π] C．[

，

] D．[

，

]

解：由函数f（x）=3cos（
﹣ωx）（ω＞0），函数f（x）相邻两个零点之间的绝对值为
，

可得

?
=

，∴ω=2，函数f（x）=3cos（
﹣2x）=3cos（2x﹣
）．令2kπ≤2x﹣
≤2kπ+π，求得kπ+
≤x≤kπ+
，可得函数的减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．结合所给的选项，故选：C．

11、若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B. C．[1，2) D.

【答案】　B　f′(x)＝4x－＝(x>0)，

令f′(x)＝0，得x＝.又函数f(x)在区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，故∈(k－1，k＋1)且k－1≥0，解得k∈，故选B.

12、已知函数f(x)=2mx3?3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点，则ln2m+ln2n的最小值为（ ）。

A、
B、
C、
D、

解：
,由
得，
，
，即函数的两个极值点为
，
，又因为
，函数有两个不同的零点，所以
，即
，

所以
[:]

,当
时，
有最小值
，故选A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号上。

13、曲线
在点
处的切线方程为 。

解：

14、执行如图所示的程序框图，若输入
，则输出
的值为 。

解：23。模拟执行程序，可得本程序框图为计算并输出
的值，循环体为“直到型”循环结构，由框图，可得：
不满足条件
，执行循环体，
，不满足条件
，执行循环体，
，满足条件
，退出循环，输出
的值为
．

15、如图，在边长为1的正方形
中任取一点，则该点落在阴影部分中

的概率为 ．

解：
据题意，可以求得阴影部分的面积为
，

16、我们把形如
（
）的函数因其图象类似于汉字“囧”字，故生动地称为 “囧函数”，并把其与
轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆皆称为“囧圆”，则当
，
时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为 .

解：

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）设
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）在锐角
中，角
的对边分别为
,若
,求
面积。

【解析】（I）由题意知

由
可得
，由
可得
，所以函数
的单调递增区间是
；　单调递减区间是

（II）由
得
，由题意知
为锐角，所以
，由余弦定理：
，可得：
，即：
当且仅当
时等号成立.因此
，所以
面积的最大值为

18、（本小题满分12分）已知等差数列
满足：
，且
、
、
成等比数列.

（1）求数列
的通项公式.

（2）记
为数列
的前
项和，是否存在正整数
，使得
若存在，求
的最小值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）设数列
的公差为
，依题意，
成等比数列，所以
，解得
或
，当
时，
；当
时，
，所以数列
的通项公式为
或
.

（2）当
时，
，显然
，不存在正整数
，使得
.

当
时，
，令
，即
，解得
或
（舍去）此时存在正整数
，使得
成立，
的最小值为41.综上所述，当
时，不存在正整数
；当
时，存在正整数
，使得
成立，
的最小值为41.

19、（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=

，对角线AC与BD相交于O，OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．

（Ⅰ） 求证：EF∥BC；

（Ⅱ）求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值．

证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为