2015届山东省济宁市梁山县第一中学高三4月模拟数学（文）试题

本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

满分为150分，考试时间为120分钟。考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定

的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只收答题卡。

第I卷 （选择题，共60分）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2．设复数
，
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，则
（ ）

A．- 5 B．5 C．- 4+ i D．- 4 - i

3．设
为全集，
是集合，则“存在集合
使得
是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则a18=

A．8.5 B．8 C．7.5 D．7

5．已知双曲线
的一条渐近线方程为x－2y =0，则该双曲线的离心率是

A．
B．
C．
D．

6．按下列程序框图来计算，若输入x=10，则运算的次数为

A．6 B．5 C．4． D．3

7．若实数x，y满足
，则x+2y的最大值为

A．6 B．
C．10 D．11

8．已知P是△ABC所在平面内一点，
，现将一粒豆随机撒在△ABC

内，则黄豆落在△PBC内的概率是

A．
B．
C．
D．

9．将函数
的图象向左平移m个单位（m>0），若所得图象对应的

函数为偶函数，则m的最小值为

A．
B．
C．
D．

10．一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分所剩几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为

A．9 B．10 C．11 D．

11．已知曲线
，则在该曲线上点
处切线斜率的最小值为

A．7 B．8 C．9 D．10

12．已知函数
有且只有一个零点，则实数a的值为

A．l B．－3 C．2 D．l或－3

第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题-第24题为选做题，考生根据要求做答。

二、填室题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．等比数列{an}的前n项的和为Sn=3n-1－r，则r= 。

14．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=l，|2a –b|=
，则|b|= 。

15．在AABC中，BC=1，∠B=
，△ABC的面积S=
，则sinC= 。

16．已知长方体ABCD—A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=
．

（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；

（Ⅱ）若c=
，∠ABC=
，试用
表示△ABC的周长，并求周长的最大值．

18．（本小题满分12分）

甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数），如下表：

零件尺寸x

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05



零件个数y

甲

3

7

8

9

3





乙

7

4

4

4

a



由表中数据得y关于x的线性回归方程为y= -91 +l00x（1．01 ≤x≤1．05），其中合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm）．

（Ⅰ）完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；

合格零件数

不合格零件数

合计



甲









乙









合计









（Ⅱ）从甲、乙加工后尺寸大于1．03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率。

附：参考公式及临界值表

P（

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



19．（本小题满分12分）

如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，AB=AE=
AD=4，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PB⊥平面BCDE．

（I）求证：平面PBE⊥平面PEF；

（Ⅱ）求四棱锥P－BEFC的体积，

20．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=lnx
ax2－2x（a∈R）．

（I）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；

（Ⅱ）若a=
，且关于x的方程f（x）=
x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知圆心为F1的圆的方程为（z +2）2 +y2= 32，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．

（I）求动点M的轨迹方程；

（Ⅱ）设N（0，2），过点P（-1，-2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲

如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．

（I）求证：DE是圆D的切绒；

（Ⅱ）如果AD=AB =2，求EB的长．

23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心
，半径r=
．

（I）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若
，直线
的参数方程为
（t为参数），直线
交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

（I）若
恒成立，求x的取值范围；

（Ⅱ）当k=1时，解不等式：
，

2015届山东省济宁市梁山县第一中学高三4月模拟

数学（文）试题参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）1-4 C A C B 5-8 D B D C 9-12B C A A

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16．

三、解答题

17．解：

（Ⅰ）、
、成等差数列，且公差为，

∴
、
.

又
，∴
，

由余弦定理，得
， 2分

即
，整理，得
, 4分

解得
或
，又
，∴
. 6分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，得
，

即
，

∴
，
， 8分

∴
的周长

，. 10分

又
， ∴
，

∴当
，即
时，
取得最大值
12分

18．解：

（Ⅰ）
，
,

由
， 得
，解之得
, 2分

由于合格零件尺寸为
，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：

合格

零件数

不合格

零件数

合计



甲

24

6

30



乙

12

18

30



合计

36

24

60



4分

所以
,因
,

故有
的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关. 6分

（Ⅱ）尺寸大于
的零件中，甲有合格零件9个，不合格零件3个；乙有合格零件4个，不合格零件11个,设甲加工的合格零件为
，甲加工的不合格零件为
；乙加工的合格零件为
，乙加工的不合格零件为
.因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件是：

…，
，共
种情况 8分

其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件是：

…，
，共
种情况。 10分

故所求概率为
12分

19．解：

（Ⅰ）由题可知，
中，
，
,

∴
,

又
中，
，
,

∴
,

∴
,....................3分

∵平面
平面
，

且平面
平面
,

∴
平面
.

又
平面
,

∴平面
平面
. 6分

（Ⅱ）∵
,

过点作
，∵平面
平面
，

∴
平面
, 9分

在
中，易求得
,

∴四棱锥
的体积

12分

20．解：

（Ⅰ）

依题意
在
时恒成立，

即
在
时恒成立. 2分

则
在
时恒成立，

即

,

当
时，
取最小值
,

∴的取值范围是
. 5分

（Ⅱ）

设
则
7分

列表：





























?

极大值

?

极小值

?



∴
极小值
，
极大值
，

又
. 9分

方程
在[1，4]上恰有两个不相等的实数根,

∴
， 得
12分

21．解：

（Ⅰ）由线段的垂直平分线的性质，得
,

又
，∴
，∴
,

∴动点
的轨迹是以
，
为焦点，以
为长轴长的椭圆,..2分

由
，
，得
.

∴动点
的轨迹方程为
. 4分

（Ⅱ）当直线
的斜率不存在时，

得
，
，得
6分

当直线
的斜率存在时，设其方程为
,

由
，得
,

设
，
，则
，
8分

从而

综上，恒有
. 12分

22．解：

（Ⅰ）连接
，
，
是直径，则
,

由
∥
，得
,

∴
是
的中垂线, 2分

∴
，
,

∴

∴
，所以
是圆
的切线. .....................5分

（Ⅱ）∵
∥
，∴
，
,

∴
∽
，∵

∴
, .........................8分

∴
，

∴
， ∴
. 10分

23．解：

（Ⅰ）由
得，
直角坐标
,

所以圆
的直角坐标方程为
, 2分

由
得，圆
的极坐标方程为

5分

（Ⅱ）将