第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若1．集合
，
,
,则
等于

A．
B．
C．
D．

2．复数
（i是虚数单位）,则复数Z在复平面内对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

4．某程序框图如图所示，若输出的
，则判断框内为

A．
B．

C．
D．

5．已知实数
满足
则z=2x+y的最大值为

A．4 B．6 C．8 D．10

6．若双曲线
的渐近线与抛物线
的准线所围成的三角形面积为,则该双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

7．在
中，若
,则

A．
是锐角三角形 B．
是直角三角形

C．
是钝角三角形 D．
的形状不能确定

8．若函数
（
）的图象向右平移
个单位后与函数
的图象重合，则的值可能是

A．
B．1 C．3 D．4

9．甲、乙、丙
位教师安排在周一至周五中的
天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是

A．
B．
C．
D．

10．已知三角形
所在平面与矩形
所在平面互相垂直，
，
，若点
都在同一球面上，则此球的表面积等于

A．
B．
． C．
D．

11．设为抛物线
的焦点，
为抛物线上三点，若为
的重心，则
的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知函数
下列是关于函数
的零点个数的4个判断:

①当
时，有3个零点；②当
时，有2个零点;

③当
时，有4个零点；④当
时，有1个零点．

则正确的判断是

A．①④ B．②③ C．①② D．③④

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．
= _______．

14．某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2．5万元，则11时至12时的销售额为________万元．

15．曲线
在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 ．

16．在数列
中，
，
，记
是数列
的前项和，则
= ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知等差数列{
}，公差
，前n项和为
，
,且满足
成等比数列．

（I）求{
}的通项公式；

（II）设
，求数列
的前项和
的值．

18．（本小题满分12分）如图，在凸四边形ABCD中，C,D为定点，CD=
,A,B为动点，满足AB=BC=DA=1．

（I）写出cosC与cosA的关系式；

（II）设△BCD和△ABD的面积分别为和，求
的最大值．

19．（本小题满分12分）某牛奶厂要将一批牛奶用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由厂商承担．若厂商恰能在约定日期（×月×日）将牛奶送到，则城市乙的销售商一次性支付给牛奶厂20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给牛奶厂1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给牛奶厂1万元．为保证牛奶新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送牛奶，已知下表内的信息：

统计信息



在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）

在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）

堵车的概率

运费（万元）



公路1

2

3



1．6



公路2

1

4



0．8



（I）记汽车选择公路1运送牛奶时牛奶厂获得的毛收入为
（单位：万元），求
的分布列和数学期望
；

（II）如果你是牛奶厂的决策者，你选择哪条公路运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多？

（注：毛收入＝销售商支付给牛奶厂的费用－运费）

20．（本小题满分12分）如图，在几何体
中，
，
,
，且
，
．

（I）求证:
；

（II）求二面角
的余弦值．

21．（本小题满分12分）设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点,为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
．

（I）求椭圆
的方程;

（II）设直线
（直线
、
不重合）,若
、
均与椭圆
相切，试探究在轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由．

22．（本小题满分12分） 设函数

（I）求函数
的单调区间；

（II）若不等式
（
）在
上恒成立，求
的最大值．

一、选择题：1~12CBDBC ABCAC CD

12．题思路:解析:当
时,
图象如下,

则由图象可知方程
有两个根,设为

,易知
,方程
的解即为

的解．再由图象可知以上两方程各有两个根,

故此时原方程有四个根．

同理可知
的情况．故选D

二、填空题：13．2 ； 14．10 ；15．
；16．480

三、解答题：

17．解：（I）由
，得

成等比数列

解得：
或
…………………3分

数列
的通项公式为
． …………………5分

…………………10分

18．解：（I）由余弦定理，在△BCD中，

BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosC=4-2

在△ABD中，BD2=2-2cosA。

所以4-2
=2-2cosA，即cosA=
-1 …………………4分

（II） S=
BC·CD·sinC=
,T=
…………6分

所以

由题意易知，
,所以

当
时，
有最大值
． …………………12分

19．解：（I）若汽车走公路1．

不堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1．6＝18．4（万元）；

堵车时牛奶厂获得的毛收入ξ＝20－1．6－1＝17．4（万元）．………………2分

∴汽车走公路1时牛奶厂获得的毛收入ξ的分布列为

ξ

18．4

17．4



P







E（ξ）＝18．4×＋17．4×＝18．3（万元）． …………………5分

（II）设汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入为η，则

不堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0．8＋1＝20．2（万元）；

堵车时牛奶厂获得的毛收入η＝20－0．8－2＝17．2（万元）． ……………7分

∴汽车走公路2时牛奶厂获得的毛收入η的分布列为

η

20．2

17．2



P







E（η）＝20．2×＋17．2×＝18．7（万元）． …………………10分

∵E（ξ）

∴选择公路2运送牛奶有可能让牛奶厂获得的毛收入更多． ………………12分

20．解：（I）

又

,

……………2分

……………………6分

（II）如图建立空间直角坐标系，则

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2
），C（1，1，
），

=（0，﹣2，2
），
=（1，﹣1，
），………8分

设平面CDE的一个法向量为
=（x，y，z），

则有
，则﹣2y+2
z=0，x﹣y+
z=0，

取z=2，则y=2
，x=0，所以
=（0，2
，2），

…………………10分

平面AEC的一个法向量为
=（﹣2，2，0），………………11分

故cos＜
，
＞=
…………………12分

21．解: （I）设
,则有
,

由
最小值为
得
,

∴椭圆
的方程为
………………4分

（II）把
的方程代入椭圆方程得

∵直线
与椭圆
相切,∴
,化简得

同理可得:

∴
,若
,则
重合,不合题意,

∴
,即
…………………8分

设在轴上存在点
,点
到直线
的距离之积为1,则

,即
,

把
代入并去绝对值整理,

或者

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的
恒成立

则
,解得
;

综上所述,满足题意的定点
存在,其坐标为
或
…………………12分

22．解：（I）函数
的定义域为
．

由
，得
；由
，得

所以函数
的增区间为
，减区间为
． ………………4分

（II）（解法一）由已知
在
上恒成立．

则
,令

则
，设

则
，所以函数
在
单调递增．…………6分

又函数
在
单调递增，

所以当
时，
；当
时，
．

从而当
时，
；当
时，

所以
在
上的最小值

因此
在
上恒成立等价于
…………………10分

由
，知
,所以
的最大值为3．………………12分

解法二：由题意