柳州市一中理科数学2015届高三高考模拟卷

命题人：周芸 刘晓升 潘诗坤 黄威 辛超文 审题人：周芸

一、选择题:(共8小题。每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。)

1.已知i为虚数单位，则复数
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．已知集合
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

3.若实数a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补，记
(a≥0,b≥0),那么
是a与b互补的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数
为奇函数且
的周期为3，
，则
（ ）

A.1 B.0 C.- 1 D.2

5.已知
中，已知
则
= （ A ）

A．30° B．60° C．120° D．30°或150°

6.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ）

A． y 2=-2x B． y 2=-4x C． y 2=2x D． y 2=-4x或y 2=-36x

7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A.
B.
C.
D.60

8. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是
,则（ ）

A.
B.

C.
D.

9.若
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知各项均为正数的等比数列
满足
,若存在两项
使得
，则
的最小值为 （ ）

A．
B．
C．
D．不存在

11.已知双曲线中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
两点，且
的中点的横坐标为
,则此双曲线的方程式为（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
,
,若
,使
,则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：（每小题5分，共20分.）

13.
=_________________.

14. 实数x，y，k满足
，
，若的最大值为
，则
的值为 .

15. 已知公差不为0的等差数列
满足
成等比数列，
项和，则
的值为 .

16. 表面积为
的球面上有四点S、A、B、C，且
是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为
，若平面
平面
,则棱锥
体积的最大值为 .

三、解答题：（第17、18、19、20、21题每题12分，第22、23、24题为选做题，每小题10分，请同学们选择其中1题来做）

17．（本小题满分12分）

已知数列
满足

（I）求数列
的通项公式；

（II）求数列
的前n项和

18. （本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，已知
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）设
(
)，

且平面
与
所成的锐二面角

的大小为
，试求
的值.

19.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，

甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个

不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在

甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

20. （本小题满分12分）

设椭圆
的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.

(1)若直线AP与BP的斜率之积为
,求椭圆的离心率;

(2)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足
.

21.（本题满分12分）

已知函数
.

（1）设
，求
的单调区间；

（2）设
，且对于任意
，
.试比较
与
的大小.

三、选做题

22题.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连接AD、BD、OC、OD，且OD=5.

（1）若
，求CD的长；

（2）若
，求扇形OAC

（阴影部分）的面积（结果保留）

23题.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆
与直线
的极坐标方程分别为
,

(1)求
与
交点的极坐标；

(2)设为
的圆心，
为
与
交点连线的中点．已知直线
的参数方程为
(
为参数)，求
的值．

24题.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
记
的解集为
，
的解集为
.

(1)求
；

(2)当
时，证明：

柳州市一中2015届高三高考模拟卷 理科数学

答 案

一、选择题：

1—5：CBCAA 6—10：BAADA 11、12：DD

二、填空题：

13. 1+ln2 14.2 15.2 16.27

三、解答题：

17. 解(1) 由
(
)…

(
)…..

由
-
得

(2) 设
,其前n项和为
,则

……….

…………….

-
得

18.解析：（Ⅰ）因为侧面
,

侧面
，故
,在
中,

由余弦定理得：

，

所以
， 故
,所以
,而

，
平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
两两垂直.以为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则
.

所以
,所以
,

则
，
. 设平面
的法向量为
，

则
,
，

令
，则
，
是平面
的一个法

向量.

平面
,
是平面
的一个法向量，

.

两边平方并化简得
，所以
或
（舍去）

19. （1）. ；（2）

P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，

P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)

＝×＋×＝，

P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)

＝×＋×＝，

P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.

可得随机变量ξ的分布列为

所以

ξ

0

1

2

3

4

6



P















所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.

20.解:(1)解:设点P(x0,y0)(y0≠0),则
+
=1,

∵A(-a,0),B(a,0),∴kAP=
,kBP=
, ∵kAP·kBP=-
, ∴
·
=-
,

∴
=a2-2
,代入
+
=1并整理得(a2-2b2)
=0,

∵y0≠0,∴a2=2b2, ∴e2=
=
=1-
=1-
=
. ∴e=
(∵0

(2)证明:易知直线OP的斜率k存在,设直线OP的方程为y=kx,

则y0=kx0,代入
+
=1, 消去y0并整理得
=
,

∵|AP|=|OA|,A(-a,0), ∴(x0+a)2+k2
=a2, ∴(1+k2)
+2ax0=0,

∵x0≠0, ∴x0=
,代入
=
得(1+k2)2=4k2(
)2+4,

∵a>b>0,∴(1+k2)2>4k2+4, ∴k2-1>2, ∴k2>3, ∴|k|>
.

21.解：（Ⅰ）由

（1）

① 若

②若

所以

（2）当
时，
， 得
，

由
得
显然，

当
时，
，函数
的单调递减，

当
时，
，函数
的单调递增，

所以函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
，

综上所述

当
，
时，函数
的单调递减区间是

当
，
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是

当
时，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.

(Ⅱ) 由
，且对于任意
，
，则函数
在
处取得最小值，

由（Ⅰ）知，
是
的唯一的极小值点，

故
，整理得
即
.

令
， 则

令
得
，

当
时，