常德市一中2015届高三第十一次月考试题

数学（理）试卷

一、选择题(5×10＝50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1．B　

2．C　

3. B

4. D

5． C

6. A

7． A

8.B

9.　D　

10. B

二．填空题（本题共5个小题，每小题各5分，共25分）

（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）

11．（几何证明选讲选做题）如图1-3所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．

图1-3

　3　 [解析]由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF∽△ACB，所以＝.又AC＝2AE，BC＝6，所以EF＝3.

12．（坐标系与参数方程选做题）已知直线
与圆
相交于AB，则以AB为直径的圆的面积为 。

13．（不等式选做题）实数ai（i=1,2,3,4,5,6）满足（a2－a1）2+（a3－a2）2+（a4－a3）2+（a5－a4）2+（a6－a5）2=1则（a5+a6）－（a1+a4）的最大值为

.

（二）必做题

14己知
，则（
）6的展开式中的常数项为

15一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有____30______种。

【解析】若爷爷坐在左侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有2种不同的坐法，其余由
种不同坐法，由乘法计数原理，得共有
种不同坐法；若爷爷坐在右侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有3种不同的坐法，其余由
种不同坐法，由乘法计数原理，得共有
种不同坐法；由分类加法计数原理，共有
种不同坐法.

16对于函数
，若在定义域内存在实数，满足
，称
为“局部奇函数”，若
为定义域上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是

为“局部奇函数”，∴存在实数满足
，即

，

令
，则
，

在
上有解，

再令
，则
在
上有解．函数关于
的对称轴为
，①当
时，
，
，解得
；②当
时，则
，即
，解得
．综合①②，可知
．

三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17. (本小题满分12分)

己知函数
在
处取最小值．

（I）求的值。

（II）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，已知a=l，b=
，
，求角C．

（Ⅰ）

=
=
………………………………3分

因为
在
处取得最小值，所以
，故
，又
所以
……………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（1）知
，因为
，且A为△
内角，所以
由正弦定理得
，所以
或
.…9分

当
时
，当
时
.

综上，
…………………………………………………………12分

18.（本小题满分12分）

某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。

（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

?

16



女

6

?

14



总计

?

?

30



 （2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？

（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为
，求
的分布列和均值。

参考公式：
，其中

解：（1）

?

喜爱运动

不喜爱运动

总计



男

10

6

16



女

6

8

14



总计

16

14

30



 ……2分

（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：

因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关 6分

（3）喜爱运动的人数为
的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：

……8分

喜爱运动的人数为
的分布列为：

0

1

2



P









 ……10分

所以喜爱运动的人数
的值为：
… 12分

19. (本小题满分12分)

数列
首项
，前项和
与
之间满足
.

⑴求数列
的通项公式；

⑵设存在正数
，使
对
都成立，求
的最大值.

【解析】⑴因为
时，
得

由题意

又

是以
为首项，为公差的等差数列.

…………………3分

时，

又

（6分）

⑵ 设

则

在
上递增 故使
恒成立，只需
.

又
又

，所以，
的最大值是
. （12分）

20. (本小题满分13分)

在四棱锥
中，底面
是矩形，
平面
，
，
. 以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
，交
于点
.

（1）求证：平面
⊥平面
；

（2）求直线
与平面
所成的角的正弦值；

（3）求点
到平面
的距离.

解：

方法一：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC。

又因为P A⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面ＰＡＤ，则CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。…………………………4分

（2）由（1）知，
，又
，则
是
的中点可得

，

则

设D到平面ACM的距离为
，由
即
，

可求得
，

设所求角为
，则
，…………………………8分

（3）可求得PC=6。因为AN⊥NC，由
，得PN
。所以
。

故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的
。

又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为
。…………………………13分

方法二：

（1）同方法一；

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
；设平面
的一个法向量
，由
可得：
，令
，则

。设所求角为，则
，

（3）由条件可得，
.在
中，
,所以
,则
,
，所以所求距离等于点到平面
距离的
，设点到平面
距离为
则
，所以所求距离为
。

21. (本小题满分13分)

设椭圆


的左、右焦点分别为
，
，上顶点为，过与
垂直的直线交轴负半轴于
点，且
．

（Ⅰ）若过、
、
三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过
的直线
与（Ⅰ）中椭圆交于不同的两点
、
，则
的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

（Ⅰ）由题
，
为
的中点．

设
，
，则
，
，

由题
，即
，

即
…………………………2分

由题
外接圆圆心为斜边
的中点
，半径
，

由题
外接圆与直线
相切

，即
，即
…………………………4分

，
，
故所求的椭圆
的方程为
…………………………6分

（Ⅱ）设
，
，由题
异号．

设
的内切圆的半径为，则
的周长为
，

，

因此要使
内切圆的面积最大，只需最大，此时
也最大．

，…………………………8分

由题知，直线
的斜率不为零，可设直线
的方程为
，

由
得
，

由韦达定理得
，
，（
）

…………………………10分

令
，则


，

当
时
有最大值
．此时，
，

故
的内切圆的面积的最大值为
，此时直线
的方程为
……………………13分

22.（本题满分13分）

设
,函数
.

（Ⅰ）证明:存在唯一实数
，使
；

（Ⅱ）定义数列
:
,
,
.

（i）求证:对任意正整数n都有
；

(ii) 当
时, 若
，

证明:对任意
都有:
.

（Ⅰ）证明: ①
.

令
,则
,
,

∴
. ………………………………… 2分

又
,∴
是R上的增函数. ……………………… 3分

故
在区间
上有唯一零点,

即存在唯一实数
使
. …………… 4分

②当
时,
,
,由①知
,即
成立；… 5分

设当
时,
,注意到
在
上是减函数,且
,

故有:
,即

∴
, ……………………………… 7分

即
.这就是说,
时,结论也成立.

故对任意正整数都有:
. ………………… 8分

(2)当
时,由
得:
,
…………… 9分

………………… 10分

当
时,
,

∴

…………………… 12分

对
,

…… 13分