2015届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考数学（文）试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
则

A．
B．
C．
D．

2．已知是虚数单位，设复数
，
，则
在复平面内对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量
的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝（ ）

A． B．2 C．3 D．4

4．已知sin θ＋cos θ＝，
，则sin θ－cos θ的值为 （　 　）．

A．
B．－ C． D．－

5．已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于

A．－10 B．－8 C．－6 D．－4

6．下列命题错误的是

A．命题“
”的逆否命题是若
或
，则

B．“
”是”
”的充分不必要条件

C．命题：存在
,使得
，则
：任意
,都有

D．命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题

7．已知三棱锥的底面是边长为的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为

A．
B．
C．
D．

8．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩
（如图），要测算
两点的距离，测量人员在岸边定出基线
，测得
，
，就可以计算出
两点的距离为

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的图象如图（其中
是函数
的导函数）,下面四个图象中,
的图象可能是

10．已知直线
，平面
，且
，给出四个命题：

①若∥
，则
； ②若
，则∥
；

③若
，则l∥m； ④若l∥m，则
．

其中真命题的个数是

A．4 B．3 C．2 D．1

11．已知函数
满足对任意的实数
都有
成立,则实数的取值范围为

A．
B．
C．
D．

12．已知
，则方程
所有实数根的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设变量
满足约束条件：
,则目标函数
的最小值为 ．

14．已知
，若
恒成立，则实数的取值范围是 ．

15．已知三棱柱
的侧棱垂直底面,所有顶点都在球面上,
AC=1,
,则球的表面积为_________．

16．下面四个命题：

①已知函数
且
，那么
；

②要得到函数
的图象，只要将
的图象向左平移
单位；

③若定义在
上的函数
，则
是周期函数；

④已知奇函数
在
为增函数，且
，则不等式
的解集
．其中正确的是__________________．

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）

设等差数列
的前项和为
,且
（是常数,
）,
．

（1）求的值及数列
的通项公式;

（2）证明:
．

18．（本小题满分12分）

在四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠ACD＝90°,∠BAC＝∠CAD＝60°,PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；

（2）求四棱锥P－ABCD的体积V．

19．（本小题满分12分）

己知函数
的部分图象如图所示．

（1）求函数
的解析式；

（2）若
，求
的值．

20．（本小题满分12分）

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC．

（1）求证：平面AB1C1⊥平面AC1；

（2）若AB1⊥A1C，求线段AC与AA1长度之比；

（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分12分）

设函数
,其中a为正实数．

（1）若x=0是函数
的极值点,讨论函数
的单调性;

（2）若
在
上无最小值,且
在
上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线
与曲线
在
交点个数．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=
AC，AE=
AB，BD，CE相交于点F。

（1）求证：A，E，F，D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．

23．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

，已知过点
的直线
的参数方程为
（为参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出曲线
和直线
的普通方程；

（2）若
成等比数列,求的值．

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

对于任意的实数
和
,不等式
恒成立,记实数
的最大值是．

（1）求的值;

（2）解不等式
．

2015届山东省济宁市微山县第二中学高三第四次月考

数学（文）试题参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

D

C

B

C

D

A

A

B

C

B

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1 14．
15． 8 16．③

三、解答题：

17．（1）解:因为
,

所以当
时,
,解得
,

当
时,
,即
,解得
, 所以
,

解得
;

则
,数列
的公差
, 所以
．

（2）因为

．

因为
所以

18．（1）∵PA＝CA，F为PC的中点，

∴AF⊥PC．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC．∴ CD⊥PC．

∵E为PD中点，F为PC中点，

∴EF∥CD．则EF⊥PC．

∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．

（2）在Rt△ABC中，AB＝1，

∠BAC＝60°，∴BC＝
，AC＝2．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，

∴CD＝2
，AD＝4．

∴SABCD＝

．

则V＝
．

19．（1）由图象知

的最小正周期
，故

将点
代入
的解析式得
又
，

故函数
的解析式为
6分

（2）
，即
又
，

9分

又
12分

20．解析：（1）由于ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以B1C1⊥CC1;

又因为AC⊥BC ，所以B1C1⊥A1C1，所以B1C1⊥平面AC1 ．

由于B1C1平面AB1C1，从而平面AB1C1⊥平面AC1 ．

（2）由（1）知，B1C1⊥A1C ．所以，若AB1⊥A1C，则可得：

A1C⊥平面AB1C1，从而A1C⊥AC1 ．

由于ACC1A1是矩形，故AC与AA1长度之比为1：1．

（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB1C1．

证法一：设F是BB1的中点，连结DF、EF、DE．则易证：平面DEF//平面AB1C1，从而DE∥平面AB1C1．

证法二：设G是AB1的中点，连结EG，则易证EGDC1．所以DE// C1G，DE∥平面AB1C1．

21．【答案】解:（1）由
得

的定义域为:

函数
的增区间为
,减区间为

（2）由

若
则
在
上有最小值

当
时,
在
单调递增无最小值

∵
在
上是单调增函数∴
在
上恒成立

∴
-------

综上所述的取值范围为
--------

此时
即
,

则 h（x）在
单减,
单增,

极小值为
．故两曲线没有公共点

22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】

（1）证明：
，
．

在正△
中，
，
，

又
，
，

△BAD≌△CBE，
，

即
，所以，，，四点共圆．…………………………（5分）

（2）解：如图，取
的中点，连结
，则
．

，
，

，
，

△AGD为正三角形，

，即
，

所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为
．

由于，，，四点共圆，即，，，四点共圆，其半径为
．（10分）

23．解：（1）C:

（2）将直线的参数表达式代入抛物线得

因为
由题意知，

代入得

24．解: （1）不等式
恒成立,

即
对于任意的实数（
）和
恒成立,

只要左边恒小于或等于右边的最小值．

因为
,

当且仅当
时等号成立,即
时,

成立,也就是
的最小值是2．

（2）
．解法1:利用绝对值的意义得:

解法2:当
时,原不等式化为
,解得
,

所以的取值范围是
．当
时,原不等式化为
,

得的取值范围是
．当
时,

原不等式化为
,解得
,

所以的取值范围是
．

综上所述:的取值范围是
．

解法3:构造函数
作

的图象,利用图象有
得:
．