山东师大附中2012级高三第七次模拟考试数学试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 4 页．满分150分．考试用时120分钟．答题前，请务必将班级、姓名和考试号填写（或填涂）在答题卡的规定位置．

注意事项：

１. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案写在试卷上的无效．

　２. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．

1、已知集合
,
,则
( )

A．
B．
C．
D．

2. 复数
（　　）

A．
B．
C．
D．

3. 某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径

组成的图形，则此几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.设函数
，则下列结论正确的是（ ）

①
的图象关于直线
对称； ②
的图象关于点
对称；

③
的图象向左平移
个单位，得到一个偶函数的图象；

④
的最小正周期为，且在
上为增函数．

A. ①③ B. ②④ C. ①③④ D. ③

5. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，
，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，
，
分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）

A．
B．

C．
D．

6.函数
的图象是（ ）

7.若在
的展开式中含有常数项，则正整数取得最小值时的常数项为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知
是双曲线
的两焦点，以线段
为边作正
，若边
的中点在双曲线上，则此双曲线的离心率是 (　　)

A．
B.
C.
D.

9. 已知实数
满足
，则
的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

10. 已知函数
是定义在上的奇函数，且当
时，
（其中
是
的导函数），若
，
，
，则，，的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II 卷 （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若等比数列
的首项是
，且
，则公比等于 ．

12．执行右边的程序框图，输出的结果是 ．

13．在边长为2的菱形
中，
，点为线段
上的任意一点，则
的最大值为 ．

14. 已知函数
的反函数为
,且有

若
且
，则
的最小值为 ．

15. 给出下列四个命题：

① 命题“
”的否定是“
”；

② “
”是“直线
与直线
相互垂直”的必要不充分条件；

③ 设圆
与坐标轴有4个交点，分别为
，则
；

④ 关于的不等式
的解集为，则
.

其中所有真命题的序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16（本题满分12分）

已知函数
,且
,

,其中
,若函数
相邻两对称轴的距离大于等于
.

求的取值范围；

在锐角三角形
中，
分别是角
的对边，当最大时，
，且
，求
的取值范围．

17（本题满分12分）

为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间是:
.

(I)求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在
岁的人数;

(II)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动,再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人.记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为
,求
的分布列及数学期望.

18（本题满分12分）

已知四棱锥
，底面
是菱形，
，
,
．

（I）求证：
；

（II）求二面角
的余弦值．

（本题满分12分）

数列
的通项
是关于的不等式
的解集中正整数的个数，

．

（1）求数列
的通项公式； （2）若
，求数列
的前项和
；

（3）求证：对
且
恒有
．

20（本题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，长轴
,短轴
,四边形
的面积为
． （1）求椭圆的方程；

过椭圆的右焦点的直线
交椭圆于
,直线

．

(i) 证明：
，并求直线
的方程； （ii）证明：以
为直径的圆过右焦点．

21（本题满分14分）

已知函数
．

（1）当
时，求证：
；

（2）当
时，
恒成立，求实数
的值．

三、解答题

16、解析：（1）

……………………2分

…………………………4分

（2）当最大时，即
，此时
……………………5分

…………………………7分

由正弦定理得

,

…………………………9分

在锐角三角形
中,
即
得
…………10分

的取值范围为
…………………………12分

17、解:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除
外的频率和为0.70,

………………2分

500名志愿者中,年龄在
岁的人数为
(人). …………4分

(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,

“年龄不低于35岁”的人有8名. ……………………6分

故
的可能取值为0,1,2,3,

,
,

,
, ………………10分

故
的分布列为

0

1

2

3















所以
………………12分

18、解：（1）取
的中点
，连接

都是正三角形

------------2分

是二面角
的平面角

，

所以 ，
-------------------5分

（2）建系
,所以

设平面APC的法向量为

……………………8分

设平面BPC的法向量为

,-------------------------------------------10分

设二面角
的大小为
，
-----12分

（3）

…………………………9分

由

知

于是

故

当
且
时为增函数

……………………………………11分

综上可知
……………………12分

20、解（1）

------------------------------------2分

，椭圆方程为
----------------------3分

同理可得:
,
，直线
的方程为
………………10分

(ii)

………………12分

,以
为直径的圆过定点. ……………………13分

21、解： （1）
，
--------------1分

-------3分

递增，所以
，所以
-------------------4分

（2）当
不等式

，

因为

若
，
，
，所以