山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试数学（理）试题

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题答案请用2B铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间120分钟。

第I卷（共50分）

一、选择题《本题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意）

1．i为虚数单位，若

A．1 B．
C．
D．2

2．

A．-2 B．-3 C．9 D．

3．已知条件
，则
的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是

5．由函数f（x）=ex -e的图象，直线x-2及x轴所围成的阴影部

分面积等于

A．e2—2e—1 B．e2—2e

C．
D．e2—2e+1

6．函数
的图像如图所示，A为图像与x轴的交点，过点A的直线l与函数的图像交于B、C两点，则

A．-8 B．-4

C．4 D．8

7．已知x，y满足条件
的最小值

A．
B．
C．
D．4

8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是

9．抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的

两个动点，且满足
，设线段AB的中点M在l上的投影

为N，则
的最大值是

10．定义在
上的函数
是它的导函数，且恒有
成立，则

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题包括5小题，每小题5分，共25分）

11．已知等差数列

12．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内爬行，则其到三角形顶点距离小于2的地方的概率为 。

13．双曲线
的一条渐近线方程为y=2x，则m= 。

14．若多项式
= 。

15．已知函数f（x）是定义在足上的奇函数，它的图象关于直线x=l对称，且f(x)=x（0

三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分12分）

设△ABC的内角么，B，c所对的边分别为a，b，c且acosC-
c=b．

（I）求角么的大小； （II）若a=3，求△ABC的周长l的取值范围．

17．（本小题满分12分）

口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球，现从中同时取出3个球．

（I）求恰有两个黑球的概率；

（II）记取出红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）．

18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD．中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB⊥CD，AB= 2AD =2CD =2．E是PB的中点．

（I）求证；平面EAC⊥平面PBC;

（II）若二面角P-AC-E的余弦值为
，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n2—3n—1，n=l，2，3…

（1）求证：数列{an—2n}为等比数列：

（2）设bn=an·cosnπ，求数列{bn}的前n项和Tn。

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的离心率为
，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为1．

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有
成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由，

21．（本小题满分14分）

山东省实验中学2015届高三第一次模拟考试

数学(理)参考答案与评分标准 (2015．4)

一、选择题:ACADB DBCCD

二、填空题 11.33； 12.
；13.
；14. -10 ；15.
.

三、解答题

16.解（I）由
得
…………2分

又

…………4分

又

…………6分

(II)由正弦定理得:
,

………9分

,…………10分

故
的周长
的取值范围为
. …………12分

17．解：（I）记“恰有两个黑球”为事件A，则

…………………………………………………………4分

(II)
的可能取值为
，则

---------- 2分

---------- 2分

---------- 2分

∴
的分布列为



















∴
的数学期望
． 2分

18解：

（I）∵PC⊥平面ABCD，AC(平面ABCD，∴AC⊥PC，

∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，

∵AC(平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． ----------------------4分

(II)如图，以C为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．

设P(0，0，a)（a＞0），则E(，－，)， -----------6分

＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，

取m＝(1，－1，0)，则

m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．

设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，

依题意，|cos(m，n(|＝＝＝
，则a＝1． -----------10分

于是n＝(1，－1，－2)，＝(1，1，－2)．

设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ＝|cos(，n(|＝
，

即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为
． -----------12分

19．解：（I）证明：当
时，

整理得

------------------------------------------------4分

是以1为首项，以2为公比的等比数列 ---------------------6分

(II)解：由（I）得

------------------7分

当为偶数时，
）

=
---------------------------9分

当为奇数时，可得
----------------------------11分

（为奇数）

（为偶数） ------------------------12分

20.解:(I）设
，直线
，由坐标原点
到
的距离为1

则
，解得
.又
，

所以

椭圆C的标准方程为
.---------------------4分

（II）椭圆C的方程为
，设
、

由题意知
的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得
，显然
。

由韦达定理有：
，
………………．① --------------------6分

假设存在点P，使
成立， 则点
，

因为点P在椭圆上，即
。

整理得
。

又
在椭圆上，即
.

故
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② -----------------9分

将
及①代入②解得

-----------------11分

所以
，


，即
.

当
时，
；

当
时，
.---------------------13分

21.解: (I)
时,令f′(x)＝ex－m＝0， 得x＝ln m.当0ln m时，f′(x)>0，

所以x＝ln m是f(x)的极小值点．又f(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln m>1，即m>e. -----------------------------------------------------4分

(II) 法1:
时
,

(i)
时,
,与题意矛盾,故
;

又
,

令
,则
------------5分

(ii)
时,
,所以
,即有
,此时
,与题意矛盾,故
;-----------------6分

(iii)令
,得
,所以,
时
,
时
,故
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,

时
,同(ii),此时
,
,与题意矛盾,故
;--------------------------------------------------7分

(iv)
时,
,且
,

又记
,则
,则
时
,
时
,易知
,故
,

所以
,若存在
使
则需
,
显然存在,如可取
;

故存在
使
,且
时
,
时
,
时
;所以

----------------------------------------------9分

得
,故
.-------------------------------10分

法2:由
得
且等号成立. ------5分

令
,则
,

因为
;---------------------6分

所以,
时
,
时
,故
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,

即有
,m只可取
.------------------------------7分

又
时,
,以下做法同方法1(iv)

注:方法1中(i)可不出现,有(ii)即可.

(III)

(i)
时由
知命题成立; --------------------11分

(ii)
时,若
,则
时
,命题成立; ------12分

(iii)
且
时,由(II)的证明知

所以

只需
,取
,则x∈(x0,＋∞)时,恒有
.

综上,命题成立. --------------------------------------------14分