龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

全卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上．

2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，
，中元素个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知复数满足

是虚数单位
，则的虚部为

A．
B．
C．
D．

3．若双曲线
的渐近线方程为
，则其离心率为

A．
B．
C． D．

4．已知向量
若
与
平行，则实数的值是

A．－2 B．0 C．2 D．1

5．如图给出的是计算
的值的程序框图，

其中判断框内应填入的是

A．
B．
C．
D．

6．某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是

A．23 B．09 C．02 D．16

7．等比数列
的各项均为正数，且
，则
＝

A．12 B．10 C．8 D．2＋

8．已知
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，下列命题为真命题的序号是

①若
，则
；

②若
，则
；

③若
,则
；

④若
，则
．

A．①④ B．①③ C．②④ D．②③

9．在
中，角
的对边分别为
，且
．若
的面积为
，则
的最小值为

A．24 B．12 C．6 D．4

10．若对任意的正实数，函数
在上都是增函数，则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上.

11．二项式
展开式中的常数项为 ．

12．已知圆
，若直线
与圆
相切，且切点在第二象限，则实数
．

13．若不等式组
表示的平面区域为
，不等式
表示的平面区域为
．现随机向区域
内撒下一粒豆子，则豆子落在区域
内的概率为 ．

14．已知函数
，有下列四个结论：

①函数
在区间
上是增函数：

②点
是函数
图象的一个对称中心；

③函数
的图象可以由函数
的图象向左平移
得到；

④若
，则函数
的值域为
.

则所有正确结论的序号是 ．

15．计算
，可以采用以下方法：

构造恒等式
，

两边对求导，得
，

在上式中令
，得
，

类比上述计算方法，计算
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分）

甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为
，乙、丙应聘成功的概率均为
，且三人是否应聘成功是相互独立的．

（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是
，求的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设
表示甲、乙两人中被聘用的人数，求
的数学期望．

17．（本小题满分13分）

已知函数
，方程
在
上的解按从小到大的顺序排成数列

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列
的前项和为
，求
的表达式．

18．（本小题满分13分）

如图1，直角梯形
中，
,
，
．
交
于点，点
,
分别在线段
,
上，且
. 将图1中的
沿
翻折，使平面
⊥平面
（如图2所示），连结
、
，
、
.

（Ⅰ）求证：平面
平面
；

（Ⅱ）当三棱锥
的体积最大时，求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分13分）

已知动圆
过定点
且与轴截得的弦
的长为．

（Ⅰ）求动圆圆心
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）已知点
，动直线
和坐标轴不垂直，且与轨迹
相交于
两点，试问：在轴上是否存在一定点
，使直线
过点
，且使得直线
,
，
的斜率依次成等差数列？若存在，请求出定点
的坐标；否则，请说明理由．

20．（本小题满分14分）

已知函数
，
（
且为常数）．

（Ⅰ）若曲线
在
处的切线过点
，求实数的值；

（Ⅱ）若存在实数
，
，使得
成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）判断函数
在
上的零点个数，并说明理由．

21．（本小题满分14分）

本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）已知线性变换
是按逆时针方向旋转
的旋转变换，其对应的矩阵为
，线性变换
：
对应的矩阵为
．

（Ⅰ）写出矩阵
、
；

（Ⅱ）若直线
在矩阵
对应的变换作用下得到方程为
的直线，求直线
的方程．

（2）已知曲线
的方程为
，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐 标系，直线
的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求直线
的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知
是曲线
上任意一点，求点
到直线
距离的最小值．

（3）已知函数
．

（Ⅰ）若
，求的取值范围；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求
的最大值．

龙岩市2015年高中毕业班教学质量检查

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．

1-5 BAACB 6-10 DBCDA

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．

11．7 12．
13．
14．①② 15．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）依题意
, …………………………………………3分

所以
. ……………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为
, …………………………7分

的可能取值为0,1,2 ………………………………………8分

，

，

， ……………………………………………………12分

所以
. ……………………………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）
, …………2分

由
及
得
∴
………4分

方程
在
的解从小到大依次排列构成首项为
，

公差为
的等差数列∴
. ………………6分

（Ⅱ）
…………………8分

， ……………………………………………10分

.

………………………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）∵
，
，

又
交
于点.

∴四边形
是边长为2的正方形 ………………………1分

∴
，
.

又∵平面

平面

∴
………………………3分

∵
，∴
……………………4分

又

∴
………………………5分

∵

∴平面
………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知