甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三下学期第三次模拟考试

数学试题(理科)

（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后，将答题卡收回。

第Ⅰ卷 （选择题，50分）

一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝{x∈R| |x|≤2 }，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B等于(　　)

A．(－∞，2] B． C． D．

2. 如图，在复平面内，复数
对应的向量分别是
则
=（ ）

A．2 B.3 C.
D.

3．已知双曲线 错误！未找到引用源。的一条渐近线方程是 错误！未找到引用源。，它的一个焦点在抛物线

错误！未找到引用源。的准线上，则双曲线的方程为（ ）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C．错误！未找到引用源。 D．错误！未找到引用源。

4. 已知向量错误！未找到引用源。等于（ ）

A．1 B．-1 C．错误！未找到引用源。 D．-错误！未找到引用源。

5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是

A. 1 B. 2 C. 4 D. 7

6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

A.
B.
C.
D.

7. 已知直线
：
与圆:
交于

两点且
，则

A.2 B.
C.
D.

8. 若实数a，b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是

A.
B．
C．
D．

（9）在
中，
的对边分别为
，且
，
，则
的面积为 （ ）

A．错误！未找到引用源。 B．错误！未找到引用源。 C． 错误！未找到引用源。 D． 错误！未找到引用源。

（10）已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ） ( )

A．＋2 B．＋1 C．＋1 D．＋1

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）

11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z =

12. 在二项式
的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为 .

13. 平面向量错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的夹角为60°，错误！未找到引用源。=(2,0)，|错误！未找到引用源。|=1，则|错误！未找到引用源。+2错误！未找到引用源。|＝

14. 设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的展开式中常数项为

15. △ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且 错误！未找到引用源。 ，BC=1，AC=3，三棱锥O- ABC

的体积为 错误！未找到引用源。，则球O的表面积为__________。

三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

16．（本题满分12分）

已知向量
＝(2sin x，cos x)，
＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝
·

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝2，

且a>b，求a，b的值．

17. （本题满分12分）

（18）（本小题满分12分）

在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，现从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所得分数分别记为、，设
为坐标原点，点的坐标为
，记
．

（Ⅰ）求随机变量
的最大值，并求事件“
取得最大值”的概率；

（Ⅱ）求随机变量
的分布列和数学期望．

18. （本题满分12分）

如图1在
中，
，D、E分别为线段AB 、AC的中点，
．以
为折痕，将
折起到图2的位置，使平面
平面
，连接
，设F是线段
上的动点，满足
．

（1）证明：平面
；

（2）若二面角
的大小为
，求的值．

19.（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，点
均在函数
的图象上。

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
是数列
的前项和，求使得
对所有
都成立的实数
的范围

20. (本小题满分13分)

20. （本大题满分13分）

设椭圆C：错误！未找到引用源。的左焦点为F，过点F的直线错误！未找到引用源。与椭圆C相交于A，B两点，直线错误！未找到引用源。的倾斜角为60o,错误！未找到引用源。.

(Ⅰ)求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）如果|AB|=错误！未找到引用源。，求椭圆C的方程.

21.（本大题满分14分）

已知函数错误！未找到引用源。，函数错误！未找到引用源。在x=1处的切线错误！未找到引用源。与直线错误！未找到引用源。垂直.

（1）求实数错误！未找到引用源。的值；

（2）若函数错误！未找到引用源。存在单调递减区间，求实数错误！未找到引用源。的取值范围；

（3）设错误！未找到引用源。是函数错误！未找到引用源。的两个极值点，若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值.

数学试题(理科)参考答案

一、1.D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.D

二、11.
12. -1 13.错误！未找到引用源。 14 -540 15 错误！未找到引用源。

三、解答题：

16.解:　

(1)f(x)＝－2sin2x＋2sin xcos x

＝－1＋cos 2x＋2sin xcos x

＝sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1 …………………………3分

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

∴f(x)的单调增区间是(k∈Z)．…………………………6分

(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，

∴sin(2C＋)＝1，

∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝ …………………………8分

∴cos C＝＝，即a2＋b2＝7.

将ab＝2代入可得a2＋＝7，解得a2＝3或4.

∴a＝或2，∴b＝2或.

∵a>b，∴a＝2，b＝ ……………………………12分.

17解：(1)由三角函数的定义得错误！未找到引用源。=－错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。，

则原式=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。2×(－错误！未找到引用源。)错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

(2)∵错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=0，∴OP⊥OQ ∴错误！未找到引用源。∴错误！未找到引用源。，

∴错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。.

∴错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。+(－错误！未找到引用源。)×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

18.解:

（1）平面
平面
,

∴
平面
∴

∴
………………………………2分

在直角三角形
中，

∴
得
∴
，又

∴
………………………………6分

（2）作

设BE交DC于O点，连OF，

由（1）知，
为二面角F－BE－C的平面角 …………………7分

由
∴

，∴

在
…………10分

得，
………………………………12分

方法2：
，设BE交DC于O点，连OF，

则
为二面角F－BE－C的平面角 ………………………………7分

又
∴

由
得
………………………………8分

在直角三角形
中
，
∴

由
得
从而得，
………12分

方法3：（向量法酌情给分）

以D为坐标原点DB，DE，D
分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），
（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，
，0），E（0，
，0）.

（1）

∵
∴

∵
∴

又
，∴
平面

又
平面

所以平面
平面
…………………………………6分

（2）设

设平面BEF的法向量为

，

取
…………………………………8分

又平面BEC的法向量为

∴
得

解得
，又∵
∴
……………12分

19. 解：

（1）点
在函数
的图象上，

当
时，
…………………………2分

当
时，

…………………………5分

当
时，
符合

…………………………6分

（2）

……………………………10分

＜

又
对所有
都成立

故
………………………………12分

20.解：设错误！未找到引用源。，由题意知错误！未找到引用源。＜0，错误！未找到引用源。＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为 错误！未找到引用源。，其中错误！未找到引用源。.

联立错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。

解得错误！未找到引用源。

因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.

即 错误！未找到引用源。

得离心率 错误！未找到引用源。. ……6分

（Ⅱ）因为错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。.

由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。.所以错误！未找到引用源。，得a=3，错误！未找到引用源。.

椭圆C的方程为错误！未找到引用源。. ……12分

21. 解： ∵
，∴
.

∵与直线
垂直，∴
，∴
.

（2）错误！未找到引用源。由题知错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上有解，错误！未找到引用源。设错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，所以只需错误！未找到引用源。故b的取值范围是错误！未找到引用源。. ………8分