2015海南高考压轴卷理科数学

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 合
（其中i为虚数单位），
，且
，则实数的值为

（ ）

A.3 B. 1 C. 2 D.

2.正弦曲线
在点
的切线方程是（ ）

A.
B.

C.
D.

3.若向量
,又
的夹角为锐角,则实数的取值范围为( )

A.
B.
C.
D.

4.在平面直角坐标系
中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，离心率为
，则其渐进线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

5.如图,直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图所示，则其左视图的面积为（ ）

A.4 B.2

C.
D.

6. 已知
表示平面，
表示直线，给出下列四个命题：

①若∥
，
则∥ ②若
，则

③若
∥，则∥
④∥，∥
，
，则

其中错误的命题个数为（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7.已知直线
与圆
交于、两点，
是坐标原点，向量
、
满足条件
，则实数的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8.现有下列命题:①命题“
”的否定是“
”；②若
，
，则
；③直线
与
互相垂直的条件为
；④如果抛物线
的准线方程为
，则
.其中正确的命题的序号为（ ）

A.②④ B.①② C.③④ D.②③

9.已知递增数列
各项均是正整数，且满足
，则
的值为（ ）

A.2 B.6 C. 8 D.9

10.设函数
(
,给出以下四个论断： ①它的图象关于直线
对称；②它的图象关于点（
对称；③它的周期是；④在区间
上是增函数.以其中的两个论断为条件，余下的论断作为结论，则下列命题正确的是（ ）

A.①③
②④或②③
①④ B.①③
②④ C. ②③
①④ D.①④
②③

11.江苏舜天足球俱乐部为救助在“3.10云南盈江地震”中失学的儿童，准备在江苏省五台山体育场举行多场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价分别为3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张.设是门票的总收入，经预算扣除其它各项开支后，该俱乐部的纯收入函数模型为
，则当这三种门票的张数分别为（ ）万张时，可以为失学儿童募捐的纯收入最大.

A.1、0.、0.8 B.0.6、0.8、1 C. 0.6、1、0.8 D.0.6、0.6、0.8

12. “已知关于的不等式
的解集为
，解关于的不等式
.”给出如下的一种解法：

参考上述解法：若关于的不等式
的解集为
，则关于的不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.

二、（本大题共4小题，每小题5分）

13. 阅读如图的程序框图，如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数的取值范围是 .

14. 已知是不等式组
表示的平面区域，是不等式组
表示的平面区域，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为_________.

15.抛物线
与直线
围成的平面图形的面积为 .

16.下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2010共出现 次.

2

3

4

5

6

7

…



3

5

7

9

11

13

…



4

7

10

13

16

19

…



5

9

13

17

21

25

…



6

11

16

21

26

31

…



7

13

19

25

31

37

…



…

…

…

…

…

…

…



三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

2011年3月11日，日本发生了9.0级大地震，同时导致了福岛核电站的泄露事件，给环境带来的一定的污染，也给世界各国的人们对环境的保护敲响了警钟.根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：

API

0～50

51～200

101～150

151～200

201～250

251～300

>300



级别

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ1

Ⅲ2

Ⅳ1

Ⅳ2

Ⅴ



状况

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中度重污染

重度污染



某环境部门对一城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间
，
，
，
，
进行分组，得到频率分布直方图如下图：

（1）求直方图中的值；

（2）计算一年中空气质量为良和轻微污染的总天数；

（3）求该城市一年中每天空气质量不为良且不为轻微污染的概率.

18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
是矩形，
，
，
，点是
的中点，点在
上移动.

（1）求三棱锥
的体积；

（2）当点为
的中点时，试判断
与平面
的关系，并说明理由；

（3）求证：
.

19.（本小题满分12分）

设椭圆
的上顶点为，椭圆
上两点
在轴上的射影分别为左焦点
和右焦点
，直线
的斜率为
，过点且与
垂直的直线与轴交于点，
的外接圆为圆
．

（1）求椭圆的离心率；

（2）直线
与圆
相交于
两点，且
，求椭圆方程；

（3）设点
在椭圆C内部，若椭圆C上的点到点N的最远距离不大于
，求椭圆C的短轴长的取值范围．

20.已知各项均为正数的等差数列
的公差d不等于0，设
是公比为q的等比数列
的前三项，

（1）若
，

（i）求数列
的前项和
；

（ii）将数列
和
的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列
，设其前项和为
，求
的值

（2）若存在

使得
成等比数列，求证：
为奇数.

21.（本小题满分12分）设函数
（
），
．

（1）若函数
图象上的点到直线
距离的最小值为
，求的值；

（2）关于的不等式
的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；

（3）对于函数
与
定义域上的任意实数，若存在常数
，使得
和

都成立，则称直线
为函数
与
的“分界线”．设
，
，

试探究
与
是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题给分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，
为割线，弦
，
相交于点，为
上一点，且
.

（1）求证：
；

（2）求证：
.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线
，
相交于
，
两

点.

（1）把曲线
，
的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）求弦
的长度.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
．

（１）当
时，求函数
的定义域；

（２）若函数
的定义域为，试求的取值范围．

2015海南高考压轴卷

理科数学答案

一、选择题

1.A 2.B 3.A 4.B 5.C 6.C 7. C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.B

解析：

1.
，则
中的复数必须为实数，所以
.

2
,则
,即切线方程为
,整理得
.故选B.

3.
,则
,又
不共线,所以
,则
且
,所以实数的取值范围为
.故选A.

4.因为
，所以
，而焦点在轴上的双曲线的渐进线方程为
，所以该双曲线的渐进线方程为
.故选B.

5.由三角形的边长全为2，即底面三角形的高为
，所以左视图的面积为
.故选C.

6.只有③是正确的.①若∥
，
则∥或异面； ②若
，则
或相交或异面；④∥，∥
，
，则
或
∥
.所以只有一个正确的，故选C.故选C.

7.由
两边平方，得
，所以
，则
为等腰直角三角形，而圆
的半径
，则原点
到直线的
的距离为1，所以
，即的值为
或
.

8.①命题的否定为：“
”；②
；③由
，得
或
；④抛物线的标准方程为
，由准线方程为
，可得
，即
.故选A.

9. 若
，则
，与
矛盾，若
，则
，而
，所以
与数列
递增矛盾，于是
，得
，

，
，而
，所以
.故选C.

10.由函数
的周期是，可知
这

（1）若
的图像关于直线
对称，则
.

当
，且
时，
；当
时，
（
），与
矛盾.因此
.这时
.

由
可知
的图象关于点
对称；由
，得
，可知
在
上是增函数.综上可知：①③
②④是正确的命题.

（2）若
的图象关于点
对称，则
，又由
知
，这时
.

由
可知，直线
是
的对称轴；由（1）可知，
在
上是增函数.综上可知：②③
①④.故选A.

11. 设3元、5元、8元门票的张数分别为
，则有

整理得
（万元）.

当且仅当
时等号成立，解得
，所以
.

由于
为增函数，即此时也恰有最大值.

故三种门票的张数分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大.故选C.

12. 由
的解集为
，得
的解集为
，即
的解集为
.故选B.

二、填空题

13.
14.
15.
16.6

解析：

13.若
，则
，不合题意；当
时，得
.

14.区域（不含边界）的面积为
，区域（不含边界）的面积为，故点落入区域的概率为
.

15.由
得抛物线与直线的交点为
.

所以

.

16. 第行第
列的数记为
，那么每一组与
的解就是表中的一个数.

因为第一行数组成的数列
是以2为首项，公差为1的等差数列，所以
.

所以第
列数组成的数列
是以
为首项，公差为
饿等差数列，

所以
.

令
，即
，故表中2010出现6次.

三、解答题

17. 解：（1）由图可知，
，解得
.

（2）
；

（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为
.

则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为
.

18.解：（1）
，所以

.

（2）当点为
的中点时，
∥平面
，

理由如下：因为点
分别为
、
的中点，所以
∥
.

又因为
，
，所以
∥平面
.

（3）因为
，
，所以
.

又
，所以
.

因为
，所以
.

又
，所以
.

因
，点是
的中点，所以
.

又
，所以
，

又
，所以
.

19.解：⑴由条件可知
，

因为
，所以得：
.

（2）由⑴可知，
，所以，
，从而
.

半径为，因为
，所以
，可得：
到直线距离为
，

从而求出
，所以椭圆方程为：
.

（3）因为点
在椭圆内部，所以
，

设椭圆上任意一点为
，则
.

由条件可以整理得：
，对任意
恒成立，

所以有：
或者

解之得：
.

20. （1）因为
，所以
成等比数列，又
是公差
的等差数列，

所以
，整理得
，

又
，所以
，

，
，

所以
，

①用错位相减法或其它方法可求得
的前项和为
；

② 因为新的数列
的前
项和为数列
的前
项的和减去数列
前项的和，

所以
.

所以
．

⑵ 由
，整理得
，

因为
，所以
，所以
.

因为存在m＞k,m∈N*使得
成等比数列，

所以
，

又在正项等差数列{an}中，
，

所以
，又因为
，

所以有
，

因为
是偶数，所以
也是偶数，

即
为偶数，所以k为奇数.

21. （1）解法一：设函数
图象上任意一点为
，则点到直线
的距离为
，当
，即
时，

，由
，解得
，或
，

又因为抛物线
与直线
相离，由
得
，

故
，即
，所以
，即
．

解法二：因为
，所以
，令
，

得
，此时
，则点
到直线
的距离为
，

即
，解之得
，或
．

（以下同解法一）

（2）解法一：不等式
的解集中的整数恰有3个，

等价于
恰有三个整数解，故
，

令
，由
且
，

所以函数
的一个零点在区间
，

则另一个零点一定在区间
内，

所以
解之得
，故所求的取值范围为
．

解法二：
恰有三个整数解，故
，即
，

因为
，

所以
，又因为
，

所以
，解之得
．

（3）设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．因此
时，
取得最小值
，

则
与
的图象在
处有公共点
．

设
与
存在 “分界线”，方程为
，即
，

由
在
恒成立，则
在
恒成立 ．

所以
恒成立，因此
．

下面证明
恒成立．

设
，则
．

所以当
时，
；当
时，
．

因此
时
取得最大值
，则
成立．

故所求“分界线”方程为：
．

选做题：

22.证明：（1）因为
，所以
，又因为
是公共角，

所以
∽
，所以
.

因为
，所以
，所以
.

（2）由（1）知，
，又
，所以
∽
，所以
，

即
.

因为
为相交弦，所以
，故
.

23. 解：（1）曲线
：
（
）表示直线
．曲线
：
，
，

所以
，即
．

（2）圆心（3，0）到直线的距离
，
，所以弦长
=
．

24. （1）由题设知：
，

如图，在同一坐标系中作出函数
和
的

图象（如图所示）,知定义域为
.

（2）由题设知，当
时，恒有
，

即
， 又由（1）
，∴
．