浙大附中2015年高考全真模拟试卷数学（理科）试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分，考试时间为120分钟.

参考公式：

柱体的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

台体的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上,下底面积

球的表面积公式
其中R表示球的半径，h表示台体的高

球的体积公式
其中R表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题

1．设集合
，
，则集合
等于 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间
上单调递增的是 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 已知
为实数,则“
”是“
且
”的 （ ▲ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

4．下列命题中错误的是 （ ▲ ）

（A） 如果平面
平面，平面
平面，
，那么

（B） 如果平面
平面
，那么平面内一定存在直线平行于平面

（C）如果平面不垂直于平面
，那么平面内一定不存在直线垂直于平面

（D） 如果平面
平面
，过内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于

5. 如图所示的是函数
和函数
的部分图象，则函数

的解析式是 （ ▲ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

6. 已知双曲线
与圆
交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是 （ ▲ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7．用餐时客人要求：将温度为
、质量为
的同规格的某种袋装饮料加热至
.服务员将袋该种饮料同时放入温度为
、质量为
的热水中，
分钟后立即取出．设经过
分钟饮料与水的温度恰好相同，此时，
该饮料提高的温度
与
水降低的温度
满足关系式
，则符合客人要求的可以是 （ ▲ ）

（A） （B）
（C）
（D）

8. 如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是 （ ▲ ）

（A）
（B）

（C）
（D）（2，4]

非选择题部分（共110分）

二、填空题

9. 已知等比数列
的公比为，前项和为
，若
成等差数列，且
，

则
▲ ，
▲ ，
▲ ．

10. 已知点
在直线
上，则
▲ ；
▲ ．

11. 若不等式组
所表示的平面区域被直线
分为面积相等的两部分，则
的值为 ▲ ；若该平面区域存在点
使
成立，则实数的取值范围是 ▲ .

12. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的体积为 ▲ ，其外接球的表面积为 ▲ .

13. 非零向量
夹角为
，且
，则
的取值范围为　　 ▲　　．

14. 实数
满足
，设
，则
▲ ．

15. 已知关于的方程
在区间
上有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是 ▲ ．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16. （本题15分）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）设
边的中点为，
，求
的面积．

17. （本题15分）如图，已知平面
与直线
均垂直于
所在平面，且
.

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.

18. （本题15分）已知直线

所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为3.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设过点的直线交椭圆于、两点，若
，求直线的斜率的取值范围.

19. （本题15分）已知数列
中，
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求证：对一切
，有
．

20. （本题14分）已知函数
，其中

（Ⅰ）若函数
、
存在相同的零点，求的值；

（Ⅱ）若存在两个正整数、，当
时，有
与
同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.

数学（理科）答案

1．C 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A 7．C 8．A

9．
,
,
10． ，
11．
，
12．
，

13．
14．
15．

16.解：（Ⅰ）由
，得
，

又
，代入得
，

由
，得
，

，

得
，

（Ⅱ）
，

，
，则

17.方法一：

（Ⅰ）证明：过点
作
于点，

∵平面
⊥平面
∴
平面

又∵
⊥平面

∴
∥
又∵
平面

∴
∥平面

（Ⅱ）解：∵
平面

∴
又∵

∴
∴

∴点是
的中点，连结
，则

∴
平面
∴
∥
，

∴四边形
是矩形

设

∴
，
∴

过
作
于点，

∴
，

取
中点
，连结
，取
的中点
，连结

∵
，
∴
∥

∵
∴
∴

∴
为二面角
的平面角

连结
，则
又∵

∴

即二面角
的余弦值为

方法二:

（I）证明：同方法一

（Ⅱ）解：∵
平面

∴
，又∵

∴
∴

∴点是
的中点，连结
，则

∴
平面
∴
∥
，

∴四边形
是矩形

分别以
为
轴建立空间直角坐标系

设
，则
，
，
，

设平面
的法向量为

∵
，

∴

又∵平面
的法向量为
……12分

设二面角
为
，则

又∵二面角
是钝角

∴

即二面角
的余弦值为
。

18.(Ⅰ)由
得
，

由
，解得
.

设椭圆的标准方程为
，则
解得
，

从而椭圆的标准方程为
.

(Ⅱ)　过的直线的方程为
，
，
，

由
，得
，因点在椭圆内部必有
，

有
，

所以|FA|·|FB| ＝(1 + k2 )|(x1 – 1)(x2 – 1 )|

由
， 得
，

解得
或
，

所以直线的斜率的取值范围为
.

19.解（Ⅰ）由已知，对
有
，

两边同除以n，得
，

即
，

于是，