严州中学2015届高三仿真考试数学（理科）试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，则
（ ▲ ）

A．
B．
C．

D．

2．已知
为两条不同的直线， 为一个平面。若
则
是
的（ ▲ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设函数




的图象关于直线
对称,它的最小正周期为，则（ ▲ ）

A.
的图象过点
B.
在
上是减函数

C.
的一个对称中心是
D.
的一个对称中心是

4．在正三棱柱
中，若
，是
中点，则
与
所成角的大小是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知数列
满足
，则
= （ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

6．若
为奇函数，且
是
的一个零点，则
一定是下列哪个函数的零点 （ ▲ ）

A．
B．

C．
D．

7．设
,关于
的不等式
和
无公共解，则
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8．抛物线
的内接ABC的三条边所在直线与抛物线
均相切，设A，B两点的纵坐标分别是
，则C点的纵坐标为（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题有7小题，9—12每题6分， 13—15题每题4分，共36分。把答案填在答题卷的相应位置。

9. 若经过点
的直线
与圆
相切，则圆
的圆心坐标是 ▲ ；半径为 ▲ ；切线在轴上的截距是 ▲ .

10．命题
,
，命题
，其中真命题的是 ▲ ；命题的否定是 ▲ .

11. 如图， 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是 ▲ ；表面积是 ▲ .

12. 设函数

，则
＝

▲ ；若

，则
▲ .

13. 函数

的最大值是

▲ .

14．已知向量
满足：
,
,
，则
在
上的投影的取值范围是 ▲ .

15. 点P是双曲线
上一点，是右焦点，且
为等腰直角三角形（O为坐标原点），则双曲线离心率的值是 ▲ .

三、解答题：本大题共5小题，满分74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本题满分15分）

在
中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知a,b,c成等比数列，且
．

（I）求角B的大小；

（II）若

，求
的面积最大值.

17．（本题满分15分）

如图，已知
平面

,
为等边三角形，

（1）若平面
平面
，求CD长度；

（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围.

18. （本题满分15分）

已知椭圆
，离心率
，且过点
，

（1）求椭圆方程；

（2）
以
为直角顶点，边
与椭圆交于
两点，求
面积的最大值.

19.（本题满分15分）

函数
，

（1）若
时，求
的最大值；

（2）设
时，若对任意
，都有
恒成立，且
的最大值为2，求
的表达式.

20.（本题满分14分）

各项为正的数列
满足
,
，

（1）取
，求证：数列
是等比数列，并求其公比；

（2）取
时令
，记数列
的前项和为
，数列
的前项之积为
，求证：对任意正整数，
为定值.

数学理科参考答案

1-8 CDCC BAAB

9.
10.；
11.
12.
或

13.
14.
15.

或

16. 解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，则
.由正弦定理得
.

又
，所以
.因为sinB＞0，则
. ………………4′

因为B∈(0，π)，所以B＝
或
.

又
，则
或
，即b不是△ABC的最大边，故
.………………3′

（II）由余弦定理
得

，得
∴.

当
时，△ABC的面积最大值为

17. 解：（1）设
取BE、AE中点O、F，连结OC、OF，以O为原点，OE、OC、OF为
轴建立坐标系，则

易知平面ABE的法向量为

设面ADE的一个法向量为

则
可得

所有
，所以CD长度为2.

（2）由（1）可知：面ADE的一个法向量
，设直线AB与面
所成角为
，则
，所以
.

18. 解：（1）由
得
，把点
带入椭圆方程可得：
，所以椭圆方程为：

（2）不妨设
的方程
，则
的方程为
。

由
得：

用
代入，可得
从而有

于是
。

令
，有

当且仅当
，
.

19. 解：（1）令
，原命题等价于求证
在
的最大值为

而
，对称轴
，结合函数图象可知：

（2）令
，则
，

因为
，所以
，而

而
而
时，
，

结合
可知二次函数的顶点坐标为

所以
，所以
.

20. 证明：（1）

两边同除
可得：

因为
，所以
为常数，故数列
是等比数列，公比为

（2）由

所以

所以
，故
=2为定值.