2015届高考考前仿真训练（一）数学试题（文科）

考试时间120分钟，满分150分

第Ⅰ卷（选择题 60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）

1.集合
,
,若
,则实数的取值范围是

A.
B.
C.
D.

2. 已知复数满足
（为虚数单位），则复数的模为

A.1 B. 2 C.
D. 2

3. 已知等差数列
的各项都是正数，且
，则
的最小值为

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

4. 已知锐角的终边上一点
，则锐角的大小为

A.200 B. 400 C. 500 D. 800

5.下列函数中，与函数
的奇偶性相同，且在（－，0）上单调性也相同的是

A.
B.
C.
D.

6. 给出命题：若平面与平面
不重合，且平面内有不共线的三点到平面
的距离相等，则//
；命题：向量
的夹角为钝角的充要条件为
. 关于以上两个命题，下列结论中正确的是

A. 命题“
”为假 B. 命题“
”为真

C. 命题“
”为假 D. 命题“
”为真

7. 执行如图所示的程序框图，输出

A．
B．

C．
D．

8. 将函数
的图象上所有点的横坐标变为

原来的
倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移
个

单位长度，得到函数
的图象，则
的单

调递增区间为

A.
B.

C.
D.

9. 已知某三棱锥的正视图与俯视图如图所示，且俯视图是边长为2的正三角形，则该三

棱锥的侧视图可能是

10. 已知数列
满足
，
为
的前项和，
，则
等于

A.
B.
C.
D.

11.已知椭圆
的左右顶点与焦点分别是双曲线
的左右焦点及顶点，则下列命题正确的个数是

：
的短轴长等于
的虚轴长；

：若
的离心率为
，则
的渐近线方程为
；

：若
与
的离心率分别为
，
，则
的最小值为2.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

12. 若函数
满足：对任意实数都有
，且当

时，
，函数

，则函数
在区间[－7,14]内零点的个数为

A. 14 B. 15 C. 16 D. 19

第Ⅱ卷（非选择题90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知,都是单位向量，其夹角为60°，又=3+2，=+3，则||= ．

14. 已知实数
满足约束条件
，若
的最大值为0，则的最小值为 ．

15．已知点
均在球
的表面上，
，
，若三棱

锥
体积的最大值为
，则球
的表面积为 ．

16．在平面直角坐标系中，O为原点，A(－2,0)，B(0,
), C(3,0), 动点D满足||=1，则|++|的最大值是 ．

三、解答题（本大题共70分）

17. (本小题满分12分)

在锐角ΔABC中，内角A、B、C所对的边长分别为、b、c ，且2sin(A+C)=
b．

（1）求角A的大小；

（2）若
，
，求ΔABC的面积.

18. (本小题满分12分)

为了解大学生身高情况，从某大学随机抽取100名学生进行身高调查，得出如下统计表：

身高(cm)

[145, 155)

[155, 165)

[165, 175)

[175, 185)

[185, 195)

[195, 205]



人数

12

a

35

22

b

2



频率

0.12

c

d

0.22

0.04

0.02



（1）求表中b、c、d的值；

（2）根据上面统计表，估算这100名学生的平均身高
；

（3）若从上面100名学生中，随机抽取2名身高不低于185cm的学生，求这2名学生中至少有1名身高不低于195cm的概率．

19. (本小题满分12分)

如图，直角梯形
中，
，
，
，
，

分别在边
上,
.现将梯形
沿
折起，使平面
平面

．

（1）若
，是否在折叠后的线段
上存在一点，使得
∥平面
？

若存在，求出
的值，若不存在，说明理由；

（2）求三棱锥
的体积的最大值，并求此时点到平面
的距离．

20. (本小题满分12分)

过抛物线

的焦点F作斜率为2的直线
交y轴于点A，

（O为坐标原点）的面积为1．

（1）求此抛物线的方程；

（2）平行于
的直线与此抛物线交于C、D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为－2，求直线CD在轴上的截距的最小值．

21. (本小题满分12分)

已知函数
（
均为常数）在
处都取得极值，曲线
在点（，
）处的切线与直线
垂直．

（1）求函数
的单调递减区间；

（2）若过点P（2 , m）可作曲线
的切线有且仅有一条，求实数m的取值范围．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，已知⊙
和⊙
相交于
两点，
为⊙
的

直径，直线
交⊙
于点
，点
为弧
的中点，

连接
分别交⊙
、
于点
，连接
.

（1）求证：
；

（2）求证：
.

23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线
的方程为
，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的单位长度，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
(
)，点A的极坐标为
，且点A在曲线
上.

（1）求曲线
的直角坐标方程；

（2）若P、Q两点分别在曲线
和
上运动，求|PQ|的最大值.

24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数

（1）当
时，解不等式
；

（2）当
时，
恒成立，求的取值范围.

文科数学试题答案

一、选择题 1－6 DCDBDA 7－12 CABACC

二、填空题 13.  14.
15.
16. 3

三、解答题

17. 解：（1）∵ A+C=π－B ∴ sin(A+C)=sinB，则条件等式可变为2sinB=b

进而由正弦定理得2sinAsinB=sinB， ………4分

又sinB>0，∴ sinA=
. ∵ A为锐角 ∴ A=
………6分

（2）∵
∴由余弦定理
，

得
，又∵
∴bc=20 ………10分

∴SΔABC=bcsinA=×20×
=5 ………12分

18. 解：（1）由
，得
，由
，得
，

所以
………………3分

（2）
……6分

（3）设身高在[185, 195)内的学生为A1, A2, A3, A4，在[195, 205]内的学生为B1, B2, 则从

[185, 205]内随机抽取2名学生的所有基本事件有：A1A2, A1A3, A1A4, A2A3, A2A4, A3A4, A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, A4B1, A4B2, B1B2，共15个 ……………9

设“2名学生中至少有一位学生身高不低于195cm”为事件A，则事件A包含基本事件共9个，所以
……………………11分

即2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率为
. ………………12分

（注意：用间接法计算的可酌情给分。）

19．解（1）
上存在一点，使得
∥平面
，

此时
. 理由如下：

过点作
交
于点
，连接
，

则有
………………2分

又
，可得
，故
.

又
，
，故有
，

故四边形
为平行四边形，所以
. ………………5分

又
平面
，
平面
，

故
∥平面
………………6分

（2）设
，所以

，
，

故

,

∴当
时，
有最大值，且最大值为
. ……………8分

此时，
，
，
，

在直角
中，
，在直角
中，
，在直角
中

，在
中，由余弦定理得，

，∴
，

. ……………10分

设点到平面
的距离为
，由于

，

即：
，

∴
，即点到平面
的距离为
. ……………12分

20. 解：（1）依题意得
，
………………………….2分

（p>0） ……………………………3分

解得p=2，故所求的抛物线方程为
………………………………..4分

（2）设直线CD的方程为y=2x+t，
，
，

由
得
，于是Δ1=4－8t>0, 即t<，

且
………………7分

又
，
，