正阳高中2014—2015学年上期高三第四次素质检测数学试题（文）

命题人：祝艳敏 时间：2015年1月16日

一、选择题

1．设全集
，则图中阴影

部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

2．已知向量
，且
与
共线，那么
的值为（ ）

A .l B.2 C.3 D.4

3．一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中
，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知角的终边经过P(-3,4)，则cos2α+sin2α=( )

A.
B.
C.
D.

5．等差数列
的前项和为
，若
，
，则
的值是（ ）

A．21 B．24 C．36 D．7

6．下列函数中，与函数
的奇偶性相同，且在
上

单调性也相同的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

A．112 B．80 C．72 D．64

8．已知双曲线
的一条渐近线与圆
相交于A.B两点，若
，则该双曲线的离心率为（ ）

A.8 B.
C 3 D.4

9．已知圆
的弦过点
，当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知向量
，
满足
=1，|
|=2，
⊥
，则向量
与向量
的夹角
为（ ）

A.
B.
C.
D.

11．定义在R上的函数
满足
，且
时，

，则
（ ）

A．1 B．
C．
D．

12．设函数
=
，则满足
≥7的x的取值范围是( )

A.[
，1) B.[
，+) C.[2，+) D.[
,1)∪[2，+)

二、填空题

13．已知为锐角，且
，则
________ ．

14．已知变量
满足约束条件
，则
的取值范围为__________________.

15．已知
=
,若对
,
∈(0,1),且
≠
,都有
为真命题，则实数的取值范围 .

16．已知长方体
．内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为
的中点，OA平面BDE，则球O的表面积为___________．

三、解答题

17．（12分）已知数列
的前项和
，

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）令
，求数列
的前项和
．

18．（12分）
名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）分别求出成绩落在
与
中的学生人数；

（3）从成绩在
的学生中任选人，求此人的成绩都在
中的概率．

19．（12分）如图，在四棱锥
中，底面
是
且边长为的菱形，侧面
是等边三角形，且平面
⊥底面
,
为
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求 点G到平面PAB的距离。

20．（12分）已知椭圆
经过点
，其离心率为
，经过点
，斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的取值范围；

（Ⅲ）设椭圆
与轴正半轴、轴正半轴分别相交于
两点，则是否存在常数
，使得向量
与
共线？如果存在，求
值；如果不存在，请说明理由．

21．（12分）设函数
，曲线
过点P（1，0），且在P点处的切线的斜率为2，

（1）求
的值。

（2）证明：

【选做题】

22．（10分）如图，AE是圆O的切线，A是切线，
于，割线EC交圆O于B，C两点.

（1）证明：O，D，B，C四点共圆；

（2）设
，
，求
的大小.

23．（10分）已知函数

（1）若关于的不等式
有解，求
的最大值；

（2）求不等式:
的解集．

高三数学第四次质检参考答案

1．D

【解析】

试题分析：因为图中阴影部分表示的集合为
，由题意可知

，所以

，故选

考点：集合的基本运算.

2．D

【解析】

试题分析：∵
，∴
，∵
与
共线，∴
，

∴
，∴
.

考点：向量共线、向量的数量积.

3．B

【解析】

试题分析：过点作
于点，在
中，易知
，

梯形的面积
，扇形
的面积
，则丹顶鹤生还的概率
，故选

考点：几何概型.

4．A

【解析】|OP|=5，由三角函数定义知，
=
，
，则
=
-1=-
，
=
=
，∴cos2α+sin2α=
，故选A.

5．C

【解析】由题意可知，
，则
，同理可得
，所以
．

【命题意图】本题考查等差数列的性质和等差数列前n项和等基础知识，意在考查基本的运算能力．

6．C

【解析】

试题分析：由
，因为
，所以
，
，所以
.故选

考点：1、函数的周期性；2、对数运算.

7．D.

【解析】

试题分析：因为
，所以
是偶函数，且在
上单调递增，与之相同的只有D选项，因为A选项是奇函数，不合题意；B选项是在
上单调递减；C选项为非奇非偶函数，不合题意，故选D.

考点：函数的单调性与奇偶性.

8．B

【解析】如图该几何体是由棱长为4的正方体
与高为3的四棱锥
组合而成，其体积为
．选B．

【考点】三视图与体积．

9．C

【解析】

试题分析：双曲线的一条渐近线方程为
，∵圆心为
，半径为3，可知圆心到直线AB的距离为
，∴
，解得
，∴
，∴
.

考点：双曲线的离心率.

10．A.

【解析】

试题分析：因为弦长最短，所以该直线与直线OP垂直，又因为
，所以直线的斜率为
，由点斜式可求得直线方程为
，故选A.

考点：直线与圆的位置关系.

11．B

【解析】∵
⊥
，∴

=
=
=0，∴
=-1，∴
，∴
=
，故选B.

12．D

【解析】由题知
或
，解得
≤＜1或≥2，故选D.

13．

【解析】

试题分析：∵为锐角，∴
，∴
，

∴
.

考点：两角差的正弦公式.

14．

【解析】

试题分析：取BD的中点为
，连结
，则四边形
为矩形，∵
平面
，

∴
，即四边形
为正方形，则球O的半径
，∴球O的表面积
.

考点：球的表面积.

15．
.

【解析】

试题分析：不等式表示的平面区域为如图所示
，



设
平面区域内动点
，则
，当为点时斜率最大，

当为点时斜率最小，所以

. 故应填
.

考点：线性规划.

16．（-,4]

【解析】由
,
∈(0,1),且
≠
,都有
为真命题知，
在（0,1）上是增函数，∵
=
，∴
=
≥0，即
对
恒成立，设
=
（
）≥
=4，当且仅当
，即

时，
=4,∴≤4，故实数的取值范围为（-,4].

17．（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）涉及
与
的等式，都再往前或往后递推再得一等式，二者相减得递推公式，利用递推公式便求出通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
，
，这显然用裂项法求和.

试题解析：（Ⅰ）由
①

可得：

．

同时
②

②-①可得：

．

从而
为等比数列，首项
，公比为
．