2015浙江省高考压轴卷文科数学

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．合集
，则集合M= （ ）

A．{0，1，3} B．{1，3}

C．{0，3} D．{2}

2．已知复数z满足
（i为虚数单位），则z= （ ）

A．-1+3i B．-1-3i

C．1+3i D．1-3i

3．已知向量
=（3cosα，2）与向量
=（3，4sinα）平行，则锐角α等于（　　）

　 A．
B．
C．
D．

4．三条不重合的直线a，b，c及三个不重合的平面α，β，γ，下列命题正确的是（　　）

　 A． 若a∥α，a∥β，则α∥β

　 B． 若α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ

　 C． 若a?α，b?α，c?β，c⊥α，c⊥b，则α⊥β

　 D． 若α∩β=a，c?γ，c∥α，c∥β，则a∥γ

5.执行如右图所示的程序框图，则输出
的值是 （ ）

A．10 B．17 C．26 D．28

6．已知函数
,则下列说法错误的是 （ ）

A． 函数f(x)的周期为

B． 函数f(x)的值域为R

C． 点（
，0）是函数f(x)的图象一个对称中心

D．

7. ．设
为两条不同的直线，α为一个平面，m//α，则
的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知a、b都是非零实数，则等式
的成立的充要条件是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知函数
的图象经过区域
，则a的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知函数
则使函数
至少有一个整数零点的所有正整数a的值之和等于 （ ）

A．1 B．4 C．6 D．9

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分

11.已知双曲线：
，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _；焦点到渐近线的距离为__ _．

12.在
中，若
，则其形状为__ _，
__

（①锐角三角形 ②钝角三角形 ③直角三角形，在横线上填上序号）；

13.已知
满足方程
，当
时，则
的最小值为__ _．

14. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

表面积与其外接球面积之比为________.

15．若
都是正数，且
，则
的最小值为

16．已知
且
，则使方程
有解时的
的取值范围为 ．

17．已知等差数列
首项为，公差为
，等比数列
首项为
，公比为，其中
都是大于1的正整数，且
，对于任意的
，总存在
，使得
成立，则
．

三、解答题（本大题共5小题，共74分）

18．已知函数f（x）=1﹣2sin（x+
）[sin（x+
）﹣cos（x+
）]

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）当x∈[﹣
，
]，求函数f（x+
）的值域．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列{an}，首项a1和公差d均为整数，其前n项和为Sn．

（Ⅰ）若a1=1，且a2，a4，a9成等比数列，求公差d；

（Ⅱ）若n≠5时，恒有Sn＜S5，求a1的最小值．

20. 如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为
，M是y轴正半轴上的一点．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．

21. 如图所示，在矩形
中，
的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且
.

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求二面角E-AP-B的余弦值.

22.（本小题满分15分）已知
，函数
,

（1）若
在
处取得极值，且
，求实数的取值范围；

（2）求使得
恒成立的实数的取值集合．

2015浙江省高考压轴卷文科数学参考答案

一、选择题答案

1-5 ABABB 6-10DACCB

二、填空题答案

11.
12．③，
； 13．
； 14.

15.
16.
或
17.

三、解答题

18. 解：（I）函数f（x）=1﹣2sin（x+
）[sin（x+
）﹣cos（x+
）]

=1﹣2
+

=
+

=

=
cos2x…（5分）

所以，f（x）的最小正周期
．…（7分）

（Ⅱ）由（I）可知
．…（9分）

由于x∈[﹣
，
]，

所以：
，…（11分）

所以：
，

则：
，

，…（14分）

19. 解：（Ⅰ）由题意得

将a1=1代入得（1+3d）2=（1+d）?（1+8d）…（4分）

解得d=0或 d=3…（6分）

（Ⅱ）∵n≠5时，恒有Sn＜S5，∴S5最大且有d＜0，

又由
?
，

∴
…（10分）

又∵a1，d∈Z，d＜0故

当d=﹣1时 4＜a1＜5此时a1不存在，…（12分）

当d=﹣2时 8＜a1＜10则a1=9，

当d=﹣3时 12＜a1＜15，…

易知d≤﹣3时a1＞9…（14分）

综上：a1=9．…（15分）

20.解：（Ⅰ）解：由题意得当a=1时，点A坐标为
，

由题有
，∴p=1

∴抛物线C的方程为：y2=2x

（Ⅱ）证明：由题
，
，

∵|OA|=|OM|，

∴
，

∴

∴直线MA的方程为：y=
，

∴

∴
=

=
=
，

∴直线BN的斜率为定值，该定值为﹣1．

21. 解：（Ⅰ）
……1分

取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为

PB=PC ∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF ……3分

从而BC⊥PO …………5分，

又BC与PO相交，可得PO⊥面ABCE………6分

（Ⅱ）作OG∥BC交AB于G，∴OG⊥OF如图，建立直角坐标系

A（1，-1，0），B（1，3，0），C（-1，3，0），

P（0，0，
）

…7分

设平面PAB的法向量为

同理平面PAE的法向量为
……………………10分

二面角E-AP-B的余弦值为
…………………12分

22．

解：（1）函数
在
处取得极值，且

∴
和
为方程
的两根

∴

因为
，由
，∴

7分

依题意
即

整理得

设
，

引入函数
，

所以函数
在
上递减，在
上单增

显然
，所以

综上所述，的取值集合为