南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（10）

高三数学（文科）

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1．已知复数
，
为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

?2.???在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(?? )

A.?充分不必要条件.???? B.?必要不充分条件.???? C.?充要条件.???? D.?既不充分也不必要条件.????

3.???设集合 A＝{ x|－3≤2 x－1≤3}，集合 B为函数 y＝lg( x－1)的定义域，则 A∩B＝（　　）

A.?(1,2)???? B.?［1,2］???? C.?［1,2)???? D.?(1,2］????

4.???设 a， b是两个非零向量，（　　）

A.?若|a+b|＝|a|－|b|，则a⊥b????

B.?若a⊥b，则|a+b|＝|a|－|b|

C.?若|a+b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D.?若存在实数λ，使得b＝λa，则|a+b|＝|a|－|b|

5．已知
，
是椭圆
的两个焦点，焦距为4.若为椭圆
上一点，且
的周长为14，

则椭圆
的离心率为（ ）

A ．
B．
C．
D．

6.???设函数 f( x)＝cos ωx( ω＞0)，将 y＝ f( x)的图像向右平移
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 ω的最小值等于(　　)

A.?
???? B.?3???? C.?6???? D.?9????

7.???若正数 x， y满足 x+3 y＝5 xy，则3 x+4 y的最小值是（　　）

A.?
???? B.?
???? C.?5???? D.?6????

8.???执行如图所示的程序框图，则输出的 S值是（　　） ? A.?－1??? ? B.?
???? C.?
???? D.?4????

9.???一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点都在同一个球面上，则该几何体的侧视图的面积为? （? ??） ?

A.?
? B.?
C.?
D.?

10.???设平面点集 A＝{( x， y)|( y－ x)( y－
)≥0}， B＝{( x， y)|( x－1) 2+( y－1) 2≤1}，则 A∩ B所表示的平面图形的面积为（　　）

A.?
??? ? B.?
???? C.?
???? D.?
????

11.??? ???设函数 f( x)＝( x－3) 3+ x－1，{ an}是公差不为0的等差数列， f( a1)+ f( a2)+…+ f( a7)＝14，则 a1+ a2+…+ a7＝（　　）

A.?0? B.?7???? C.?14???? D.?21????

12.???设函数y=
在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K,定义函数
取函数
，当
时，函数f K(x)的单调递增区间为 ?(?? )

A.?(-∞,0)???? B.?(0,+∞)???? C.?(-∞,-1)???? D.?(1,+∞）????

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.????当函数 y＝sin x－
cos x(0≤ x＜2π)取得最大值时， x＝ _______.

14.???如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n行有 n个数，且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ，则第10行第3个数（从左往右数）为_______． ?

15.???已知双曲线 E的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F的直线 l与 E相交于 A， B两点，且 AB的中点为

N(－12，－15)，则 E的方程为_______　　

16.???设函数 f( x)＝ x2－1，对任意 x∈[
，＋∞)， f(
)－4 m2f( x)≤ f( x－1)＋4 f( m)恒成立，则实数 m的取值范围是______ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（12分）设
为等差数列，
为数列
的前项和，已知
。

求数列
的通项公式；

设
，求数列
的前项和
。

18.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再

从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

19. （本小题满分12分）

四棱锥
中，
底面
，且
，
，

.

(1) 在侧棱
上是否存在一点
，使
平面
？证明你的结论；

(2) 求证：平面
平面
.

.

20.（本小题满分14分）已知椭圆
过点
，点
是椭圆的左焦点，点、
是椭圆
上的两个动点，且
、
、
成等差数列．

（1）求椭圆
的标准方程；（2）求证：线段
的垂直平分线经过一个定点.

21.（本小题满分12分）设函数
，
且
. 曲线
在点
处的切线的斜率为
.（1）求
的值；（2）若存在
，使得
，求的取值范围.

四．选做题（22.23两选一）

22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知：曲线
的极坐标方程为：

，直线
的参数方程为：
（为参数）

求曲线
与直线
的普通方程；

若直线
与曲线
相切，求值。

23．（10分）选修4-5：不等式选讲

设函数
若函数
的定义域为，试求实数的最大值。

高三数学交流卷答案（文科）

一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)

1．已知复数
，
为的共轭复数，则下列结论正确的是（ D ）

A．
B．
C．
D．

?2.???在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的(??B )

A.?充分不必要条件.???? B.?必要不充分条件.???? C.?充要条件.???? D.?既不充分也不必要条件.????

3.???设集合 A＝{ x|－3≤2 x－1≤3}，集合 B为函数 y＝lg( x－1)的定义域，则 A∩ B＝（　D　）

A.?(1,2)???? B.?［1,2］???? C.?［1,2)???? D.?(1,2］????

4.???设 a， b是两个非零向量，（　C　）

A.?若|a+b|＝|a|－|b|，则a⊥b????

B.?若a⊥b，则|a+b|＝|a|－|b|

C.?若|a+b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa

D.?若存在实数λ，使得b＝λa，则|a+b|＝|a|－|b|

5．已知
，
是椭圆
的两个焦点，焦距为4.若为椭圆
上一点，且
的周长为14，

则椭圆
的离心率为（ B ） A ．
B．
C．
D．

6.???设函数 f( x)＝cos ωx( ω＞0)，将 y＝ f( x)的图像向右平移
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 ω的最小值等于(　C　)

A.?
???? B.?3???? C.?6???? D.?9????

7.???若正数 x， y满足 x+3 y＝5 xy，则3 x+4 y的最小值是（　C　）

A.?
???? B.?
???? C.?5???? D.?6????

8.???执行如图所示的程序框图，则输出的 S值是（　D　） ?

A.?－1???? B.?
?? ?? C.?
???? D.?4????

9.???一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点都在同一个球面上，则该几何体的侧视图的面积为? （? D??） ?

A.?
????

B.?
????

C.?
????

D.?
????



??

??

10.???设平面点集 A＝{( x， y)|( y－ x)( y－
)≥0}， B＝{( x， y)|( x－1) 2+( y－1) 2≤1}，则 A∩ B所表示的平面图形的面积为（D　　）

A.?
???? B.?
?? ?? C.?
???? D.?
????

11.??? ???设函数 f( x)＝( x－3) 3+ x－1，{ an}是公差不为0的等差数列， f( a1)+ f( a2)+…+ f( a7)＝14，则 a1+ a2+…+ a7＝（C　　）

A.?0? B.?7???? C.?14???? D.?21????

12.???设函数y=
在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K,定义函数
取函数
，当
时，函数f K(x)的单调递增区间为 ?(??C? )

A.?(-∞,0)???? B.?(0,+∞)???? C.?(-∞,-1)???? D.?(1,+∞）????

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.????当函数 y＝sin x－
cos x(0≤ x＜2π)取得最大值时， x＝_
__.

14.???如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n行有 n个数，且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ，则第10行第3个数（从左往右数）为__
___． ?

15.???已知双曲线 E的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F的直线 l与 E相交于 A， B两点，且 AB的中点为

N(－12，－15)，则 E的方程为
　　

16.???设函数 f( x)＝ x2－1，对任意 x∈[
，＋∞)， f(
)－4 m2f( x)≤ f( x－1)＋4 f( m)恒成立，则实数 m的取值范围是_
_ ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（12分）设
为等差数列，
为数列
的前项和，已知
。

求数列
的通项公式；

设
，求数列
的前项和
。

17、（1）
(2)

18.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再

从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

18. （本小题满分12分）

解（1）设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
.…4分

（2）设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分

由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个. ……………9分

其中使得事件成立的为
，
，
，
，共4个 ……………10分

则
. ……………12分

19. （本小题满分12分）

四棱锥
中，
底面
，且
，
，

.

(1) 在侧棱
上是否存在一点
，使
平面
？证明你的结论；

(2) 求证：平面
平面
.

19. (1) 解：当
为侧棱
中点时，有
平面
.

证明如下：如图，取
的中点，连
、
.

为
中点，则
为
的中位线，

∴
且
.

且
，∴
且
，

∴四边形
为平行四边形，则
.

∵
平面
，
平面
，

∴
平面
…………6分

(2) 证：∵
底面
，∴
.

∵
，
，∴
平面
.

∵
平面
，∴
.

∵
，为
中点，∴
.

∵
，∴
平面
.

∵
，∴
平面
.

∵
平面
，∴平面
平面
. …………12分

20.（本小题满分14分）已知椭圆
过点
，点
是椭圆的左焦点，点、
是椭圆
上的两个动点，且
、
、
成等差数列．

（1）求椭圆
的标准方程；（2）求证：线段
的垂直平分线经过一个定点.

20. 解：(1)设椭圆C的方程为
， …………1分

由已知，得
解得
∴椭圆的标准方程为
……4分

(2)证明：设
，
，由椭圆的标准方程为
，

可知
， ……5分

同理
，
， ………7分

，
，
. …8分

(ⅰ)当
时，由
得
，
.

设线段
的中点为
，由
，

得线段
的中垂线方程为
， ……………11分

，该直线恒过一定点
. ……………12分

(ⅱ)当
时，
，
或
，
，

线段
的中垂线是x轴，也过点
.

综上，线段
的中垂线过定点
. ……………14分

21.（本小题满分12分）设函数
，
且
. 曲线
在点
处的切线的斜率为
.（1）求
的值；（2）若存在
，使得
，求的取值范围.

21.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）
， ……………2分

由曲线
在点
处的切线的斜率为
，得
，………3分

即
，
. ……………4分

（Ⅱ）由
，得
.

………5分

令
，得
，
. 且
……………6分

① 当
时，
，在
上，
为增函数，

，

令
，即
，解得
. ……………8分

② 当
时，
，





















减

极小值

增




不合题意，无解. ……10分

③ 当
时，在
上，
，
为减函数，

恒成立，则符合题意. ……………11分

综上，的取值范围是
. ……………12分

四．选作题（22.23两选一）

22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲

已知：曲线
的极坐标方程为：

，直线
的参数方程为：
（为参数）

求曲线
与直线
的普通方程；

若直线
与曲线
相切，求值。

22．解：（1）曲线
：

直线