南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（09）

高三数学（文科）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
（是虚数单位）的虚部是（ ）

A． B． C．
D．

3．若a是实数，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知向量a，b满足｜a｜＝1，a⊥b，则a－2b在a方向上的投影为（ ）

A．1 B．
C．－1 D．

5．若双曲线
（a＞0）的离心率为2，则a等于（ ）

A．2 B．
C．
D．1

6．已知实数、满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B． C． D．

7．函数
的最小正周期是，若其图象向右

平移
个单位后得到的函数为奇函数，则函数
（ ）

A．关于点
对称 B．关于点
对称

C．关于直线
对称 D．关于直线
对称

8．如右上图，程序输出的结果
, 则判断框中应填（ ）

A．
B．
C．
D．

9．已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）

A．4π B．8π C．12π D．16π

10．对于函数
，部分与的对应关系如下表：

1

2

3

4

5

6

7

8

9





3

7

5

9

6

1

8

2

4





数列
满足：
，且对于任意
，点
都在函数
的图像上，则
( )

A．7554 B．7549 C．7546 D．7539

11．设A1，A2分别为椭圆
（a＞b＞0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在上的可导函数
的导函数为
，若对于任意实数，有
，且
为奇函数，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若直线
与圆
＝1相切，则k ＝ ．

14．从数字、、
中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于
的概率为 ．

15．在
中，内角A、B、C的对边分别是
，若
，且

，则
________．

16．对于函数
，若存在区间
，则称函数
为“同域函数”，区间A为函数
的一个“同城区间”.给出下列四个函数：

①
；②
；③
；④
log
.

存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_____________（请写出所有正确的序号）

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
,
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足：

，求数列
的前项和.

18．（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下列联表（平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖）：

常喝

不常喝

合计



肥胖



2





不肥胖



18





合计





30





已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为
．

（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99．5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少?参考数据：

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱柱
中，底面
是等腰梯形，
，
，
∥
，顶点
在底面
内的射影恰为点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）在
上是否存在点
，使得
∥平面
？若存在，

确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线
的焦点为，过的直线
交抛物线
于点
，当直线
的倾斜角是
时，
的中垂线交轴于点
.

（1）求的值；

（2）以
为直径的圆交轴于点
，记劣弧
的长度为
，

当直线
绕旋转时，求
的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝
－bx＋lnx（a，b∈R）．

（Ⅰ）若a＝b＝1，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）设a＜0，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设a＜0，且对任意的x＞0，f（x）≤f（2），试比较ln（－a）与－2b的大小．

选做题：（10分）请考生从第22、23、24题中任选一题做答．多答按所答的首题进行评分．在答题卡上将所选题目的题号打勾。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示，已知
与⊙
相切，为切点，过点的割线交圆于
两点，弦
，
相交于点，为
上一点，且
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，求
的长．

23．（本题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程.

坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程
为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求圆C的极坐标方程；

(Ⅱ)射线
与圆C的交点为O、P两点，求P点的极坐标.

24．（本题满分10分）选修4—5: 不等式选讲.

设不等式
的解集为
,
．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）比较
与
的大小．

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

DCAAD CCBAA CB

二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15．
16．①②③

三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）

17．（12分）

解：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，则依题设
．

　　　　　　由
,可得
．

　　　　　由
，得
，可得
．

　　　　　所以
．可得
．……………………………4分

　（Ⅱ）设
，则
.

　　　　　即
，

　　　　　可得
，且
．

　　　　　所以
，可知

．………………8分

　　　　　所以
，

　　　　　所以数列
是首项为，公比为的等比数列．

　　　　　所以前项和
．　…………………………12分

18．(12分)

解：（I）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有人，
.……………1分

常喝

不常喝

合计



肥胖

6

2

8



 不胖

4

18

22



合计

10

20

30



 ………3分

（II）由已知数据可求得：
………6分

因此有
的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．……………8分

（III）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有 AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种.……………9分

其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF， DE，DF.共8种.…………10分

故抽出一男一女的概率是
.…………12分

19．(12分)

解：(Ⅰ)证明:连接
,则
平面
, ∴

在等腰梯形
中,连接

∵
,
,
∥
∴

∴
平面

∴
……………………6分

(Ⅱ)设
是
上的点

∵
∥
∴
∥

因经过
、
的平面与平面
相交与
，要是
∥平面
，则
∥
，

即四边形
为平行四边形 ，此时
，即点
为
的中点.

所以在
上存在点
,使得
∥平面
，此时点
为
的中点. …………12分

20．（12分）

解：（1）
当
的倾斜角为
时，
的方程为

设

得

得
中点为

中垂线为

代入得

………………5分

（2）设
的方程为
，代入
得

中点为

令

∵到轴的距离

∴
当
时，
取最小值
，的最大值为

故
的最大值为
. …………………12分

21．（12分）

解：（I）
时，
，
，…………1分

∴
，
， ……………………2分

故
点
处的切线方程是
． …………3分

（II）由
，得
．………4分

当
时，
，得
，由
,

得
． 显然，