一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，若P（2，3）∈A∩（?UB），则（　　）

A．

m＞﹣1且n＜5

B．

m＜﹣1且n＜5

C．

m＞﹣1且n＞5

D．

m＜﹣1且n＞5



2. 设复数z=
（i为虚数单位），z的共轭复数为，则在复平面内i对应当点的坐标为（　　）

A．

（1，1）

B．

（﹣1，1）

C．

（1，﹣1）

D．

（﹣1，﹣1）



3. 已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（　　）

A．

﹣1

B．

1

C．

﹣5

D．

5



4. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且

，则
=（　　）

A．

4n﹣1

B．

4n﹣1

C．

2n﹣1

D．

2n﹣1



5. 设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（　　）

A．

2

B．

4

C．



D．

4



6．下列命题：

①?x∈R，不等式x2+2x＞4x﹣3成立；

②若log2x+logx2≥2，则x＞1；

③命题“

”的逆否命题；

④若命题p：?x∈R，x2+1≥1，命题q：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，则命题p∧?q是真命题．其中真命题只有（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

②③④



7. 执行如图所示的程序图，若任意输入区间[1，19]中实数x，则输出x大于49的概率为（　　）

A．



B．



C．



D．





8. 已知点（a，b）在圆x2+y2=1上，则函数

的最小正周期和最小值分别为（　　）

A．



B．



C．



D．







9. 如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数
的图像大致为（ ）

10. 如图，F1、F2是双曲线
的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（　　）

A．

4

B．



C．



D．





11. 定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，则实数a的值为（　　）

A．



B．

﹣

C．

1

D．

﹣1



12.某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则该几何体的体积等于( )

A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 B．40cm3

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13．计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有 。

14.若（1+ex）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R），则
。

15．已知
，
是两个互相垂直的单位向量，且
?
=
?
=1，则对任意的正实数t，|
+t
+

|的最小值是 。

16.
，数列
的前项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn的最小值为 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)

已知
,
,
，其中a，b，x∈R．且满足f（
）=2，f′（0）=2
．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣log
k=0在区间[0，
]上总有实数解，求实数k的取值范围．

18. (本小题满分12分)

某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

(1)任选1名教师，求该教师选择只参加一项培训的概率；

(2)任选3名教师，记
为3人中选择不参加培训的人数，求
的分布列和期望．

19. (本小题满分12分)

如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=2，F为线段DE的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面ACF；

（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值．

20. (本小题满分12分)

已知圆M：（x+1）2+y2=
，圆N：（x﹣1）2+y2=
，动圆P与两圆均相切，圆心P的轨迹为曲线G，直线l1：y=k1x+m1与曲线G交于A、C两点，直线l2：y=k2x+m2与曲线G交于B、D两点．

（1）求曲线G的方程；

（2）若四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

21. (本小题满分12分) 已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）．

（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式f（x）＞（x﹣1）（
+x+1）；

（Ⅲ）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求实数a的取值范围．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，A，B，C是圆O上三个点，AD是∠BAC的平分线，交圆O于D，过B做直线BE交AD延长线于E，使BD平分∠EBC．

（1）求证：BE是圆O的切线；

（2）若AE=6，AB=4，BD=3，求DE的长．

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．

（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为
的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f（x）=
+
．

（1）求f（x）≥f（4）的解集；

（2）设函数g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．

南昌市高三数学信息交流理科试卷答案

一：选择题

①A ②C ③D ④C ⑤C ⑥A ⑦C ⑧B ⑨D ⑩B ⑾B ⑿B

⑴解：∵集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，

∴?UB={（x，y）|x+y﹣n＞0}，

∵P（2，3）∈A∩（?UB），

∴2×2﹣3+m＞0，2+3﹣n＞0，

∴m＞﹣1，n＜5．

故选：A．

⑵解：复数z=
=
=
=
=﹣1+i，i=1﹣i，

在复平面内i对应当点的坐标为（1，﹣1）．

故选：C．

⑶解：令y=g（x）=f（x）+x，

∵f（2）=1，

∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，

∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，

∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．

故选D．

⑷解：设等比数列{an}的公比为q，

∴q=
=
，

∴a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+
）=
，解得a1=2，

∴an=2×
=
，

Sn=
，

∴
=
=2n﹣1

故选：C

⑸解：在△APF中，由抛物线的定义，可得|PA|=|PF|，

∵|AF|sin 60°=4，∴|AF|=
，

又∠PAF=∠PFA=30°，过P作PB⊥AF于B，则|PF|=
=
．

故选：C．

⑹解：不等式x2+2x＞4x﹣3可化为x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0

由实数的性质我们易得该不等式恒成立，故①为真命题；

log2x+logx2≥2，则log2x＞0，即x＞1，故②为真命题；

根据不等式的性质，
成立，

由原命题和其逆否命题真假性一致，故③为真命题；

根据实数的性质，命题p：?x∈R，x2+1≥1为真命题，

命题q：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0也为真命题，则?q是假命题

则命题p∧?q也是假 命题，故④为假命题；

综上，①②③为真命题

故选A

、故选：C

⑻解：∵点（a，b）在圆x2+y2=1上，∴a2+b2=1．

=

=

=

=
﹣1，（tanθ=
）．

∴函数的最小正周期为
，

当sin（2x+θ）=﹣1时，函数有最小值﹣
．

故选：B．

⑼解：当由
时，
从
，且单调递增，

由
时，从
，且单调递增，∴排除A，B，C，故选：D．

⑽解：∵△ABF2为等边三角形，∴|AB|=|AF2|=|BF2|，
．

由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∴|BF1|=2a．

又|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=4a．

∴|AF2|=4a，|AF1|=6a．

在△AF1F2中，由余弦定理可得：
=
﹣
，

∴
，化为c2=7a2，

∴
=
．

故选B．

⑾解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），

∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），

即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），

∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，

即﹣1+1=
，
，

解得b=0，c=﹣3a．

∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），

则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，

即（f（x））2=1，即f（x）=±1．

要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有4个不同的实根，即f（x）=±1．各有2个不同的根，

即函数f（x）的极值等于±1，

∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），

∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），

∵a＜0，

∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，

当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，

∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，

当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，

由f（1）=﹣2a=1且f（﹣1）=2a=﹣1得，a=
，

故选：B．

⑿解：作出长、宽、高分别为4 cm、3 cm、5 cm的长方体如图1-3-21所示，则四棱锥
即为所求的空间几何体．由四棱锥
底面是边长为5的正方形，高为
cm，故体积为
．故选B．

二：填空题

⒀ 60 ⒁ -1 ⒂
⒃-4

⒀解：根据题意，分2种情况讨论：

①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A43=24种，

②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C32A42=36种；

⒁解：在（1+ex）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014（x∈R）中，令x=﹣
，

可得a0﹣
+
﹣…+
=0．

再令x=0可得a0=1，∴﹣
+
﹣…+
=﹣1

⒂解：∵
=0，
，
．

建立如图所示的直角坐标系，取
，
．

设
，

∴（x，y）?（1，0）=（x，y）?（0，1）=1．

∴x=y=1．∴
．

∴
．

∵t＞0．

∴
=

=

=
，当且仅当t=1时取等号．

⒃解：由
=
=n2+n，

∴
，

∴数列
的前项和为Sn=（1﹣
）+（
）+…+（
）=
．

又bn=n﹣8，

∴bnSn=
=

=

=﹣4．

当且仅当n+1=
，即n=2时等号成立．

三：解答题

17. 解：（Ⅰ）由题意知，
=
，

由
得
，

∵f′（x）=asin2x+bcos2x，又
，∴
，∴a=2．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
=
，

∵
，
，

∴
，f（x）∈[0，3]．

又∵
有解，即f（x）=﹣log3k有解，

∴﹣3≤log3k≤0，解得
，

∴实数k的取值范围为
．

18. 解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且
，
． ………1分

（1）任选1名，该教师只选择参加一项培训的概率是

． …………4分

（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是

． …………5分

因为每个人的选择是相互独立的，

所以3人中选择不参加培训的人数
服从二项分布
， …………6分

且
，
， …………8分

即
的分布列是

0

1

2

3





0.729

0. 243

0.027

0.001



……10分

所以，
的期望是
． ………12分

（或
的期望是
．）

19. （Ⅰ）证明：连结BD和AC交于O，连结OF，…（1分）

∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，

∵F为DE中点，∴OF∥BE，…（3分）

∵BE?平面ACF，OF?平面ACF，

∴BE∥平面ACF．…（4分）

（Ⅱ）（理科）解：∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，

∴AE⊥CD，∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，

∵AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，∴CD⊥平面DAE，

∵DE?平面DAE，∴CD⊥DE…（6分）

∴以D为原点，以DE为x轴建立如图所示的坐标系，

则E（2，0，0），F（1，0，0），A（2，0，2），D（0，0，0）

∵AE⊥平面CDE，DE?平面CDE，∴AE⊥DE，∵AE=DE=2，

∴
，∵ABCD为正方形，∴
，∴
，

由ABCD为正方形可得：
，∴

设平面BEF的法向量为
，

，

由

，

令y1=1，则
∴
…（8分）

设平面BCF的法向量为
，

，

由
，

令y2=1，则
，
，

∴
…（10分）

设二面角C﹣BF﹣E的平面角的大小为θ，则

=

∴二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值为
…（12分）

20. 解：（1）易得动圆P与圆M外切，并内切于圆N，

设动圆P的半径为r，则PM=
+r，PN=
﹣r，

PM+PN=2
＞MN，

故点P的轨迹为以M，N为焦点的椭圆，且2a=2
，2c=1，即a=
，c=1，b=1，

即曲线G的方程为
y2=1．

（2）联立方程
y2=1．和l1：y=k1x+m1，消去y得，xA，xC是方程（2k12+1）x2+4k1m1x+2m12﹣2=0的两根，

∴△=8（2k12+1﹣m12）＞0，xA+xC=﹣
，

∴AC中点为（﹣
），同理可得BD的中点为（﹣
，
）

∵四边形ABCD为菱形，∴中点重合，即

=
，且
=
，

∵k1≠k2，∴m1=m2=0，即菱形的对角线AC，BD交于点O，

联立方程
y2=1．和l1：y=k1x，消去y得，x2=
即xA2=xC2=

故OA=OC=

，同理OB=OD=
，

又AC⊥BD，k1k2=﹣1，则OB=OD=

∴菱形ABCD的面积S=2OA?OB=2

?

=4
=
≥
=
．

当且仅当k1=±1，菱形ABCD面积的最小值为
．

21. 解：（Ⅰ）因为f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex

所以f′（x）=[2ax+（a﹣1）2]ex+[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex=[ax2+（a2+1）x+a]ex

因为x=0为f（x）的极值点，所以由f′（0）=ae0=0，解得a=0

检验，当a=0时，f′（x）=xex，当x＜0时，f′（x）＜0，当x＞0时，f′（x）＞0，

所以x=0为f（x）的极值点，故a=0．

（Ⅱ） 当a=0时，不等式不等式
?（x﹣1）ex＞（x﹣1）（
x2+x+1），

整理得（x﹣1）[ex﹣（
x2+x+1）]＞0，

即
或

令g（x）=）ex﹣（
x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣（x+1），h′（x）=ex﹣1，

当x＞0时，h′（x）=ex﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=ex﹣1＜0，

所以h（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，

所以h（x）＞h（0）=0，即g′（x）＞0，

所以g（x）在R上单调递增，而g（0）=0；

故ex﹣（
x2+x+1）＞0?x＞0；ex﹣（
x2+x+1）＜0?x＜0，

所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}；

（Ⅲ） 当a≥0时，f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，

因为x∈（1，2），所以f′（x）＞0，所以f（x）在（1，2）上是增函数．

当a＜0时，f′（x）=a（x+a）（x+
）?ex，x∈（1，2）时，f（x）是增函数，f′（x）＞0．

①若a＜﹣1，则f′（x）=a（x+a）（x+
）?ex＞0?x∈（﹣
，﹣a），由（1，2）?（﹣
，﹣a）得a≤﹣2；

②若﹣1＜a＜0，则f′（x）=a（x+a）（x+
）?ex＞0?x∈（﹣a，﹣
），由（1，2）?（﹣a，﹣
）得﹣
≤a＜0．

③若a=﹣1，f′（x）=﹣（x﹣1）2?ex≤0，不合题意，舍去．

综上可得，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[﹣
，+∞）

22. （1）证明：连接BO并延长交圆O于G，连接GC，

∵∠DBC=∠DAC，又∵AD平分∠BAC，BD平分∠EBC，

∴∠EBC=∠BAC．

又∵∠BGC=∠BAC，∴∠EBC=∠BGC，

∵∠GBC+∠BGC=90°，

∴∠GBC+∠EBC=90°，∴OB⊥BE．

∴BE是圆O的切线．…（5分）

（2）由（1）知△BDE∽△ABE，
，

∴AE?BD=AB?BE，AE=6，AB=4，BD=3，

∴
．…（8分）

由切割线定理得BE2=DE?AE，

∴
．…（10分）

23. 解：（1）∵C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数），

∴消去参数得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：
，

曲线C1为圆心是（﹣2，1），半径是1的圆．

曲线C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．

（2）曲线C2的左顶点为（﹣4，0），则直线l的参数方程为
（s为参数）

将其代入曲线C1整理可得：s2﹣3
s+4=0，设A，B对应参数分别为s1，s2，

则s1+s2=3
，s1s2=4，

所以|AB|=|s1﹣s2|=
=
．

24. 解：（1）∵函数f（x）=
+
=
+
=|x﹣3|+|x+4|，

∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．

∴①
，或②
，或③
．

得不等式①：x≤﹣5；

解②可得x无解；

解③求得：x≥4．

所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．

（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，

∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|=
．

由于函数g（x）=k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，

作函数y=f（x）和 y=g（x）的图象如图，其中，KPB=2，A（﹣4，7），

∴KPA=﹣1．

由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，

∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．