南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（08）

高三数学（理科）

考试时间：120分钟； 命题：高三数学备课组

第I卷（选择题）

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

1、若复数满足：
，则的虚部为（ ）

A.
B. 1 C. D.

2、已知
，
，则使
成立的一个充分不必要条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

3、在等比数列
中，若
，
，
的项和为
，则
（ ）

A．
B．2 　 　 C．
D．

4、将函数
的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位，所得函数图像的一个对称中心是（ ）

A.
B.
C.
D.

5、下列四个命题中①设有一个回归方程y=2－3x，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；

②命题P:“
”的否定
；

③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（X＞1）=p，则P（-l＜X＜0）
；

④在一个2×2列联表中，由计算得K2=6．679，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中正确的命题的个数有（ ）

本题可以参考独立性检验临界值表：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.535

7.879

10.828



A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、若
，则
的展开式中常数项为（　　）

A．
B．
C．
D．

7、已知
为互相垂直的单位向量，若向量
与
的夹角等于
，则实数
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

8、一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是（0，0，0），（1，2，0），

（0，2，2），（3，0，1），则该四面体中以
平面为投影面的正视图的面积为（ ）

A． B．
C． D．

9、阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（ ）

A．
B．

C．
D．

10、若实数a，b，c，d满足
，

则
的最小值为（　　）

A．
B．8 C．
D．2

11、设数字1，2，3，4，5，6的一个排列为
，

若对任意的
总有
满足

则这样的排列共有（ ）

A．36 B．32 C．28 D．20

12、已知函数
，若方程
有四个不同的解
，
，
，
，且
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．

13．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有_______种．

14．若圆C：
＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值是_____________。

15．已知函数y＝f（x－1）＋
是定义在R上的奇函数，且f（0）＝－1，若g（x）＝1－

f（x＋1），则g（－3）＝______________

已知数列{
}通项公式为
＝－n＋p，数列{
}通项公式为
＝
，设
＝

若在数列{
}中，
＞
（n∈N﹡,n≠8），则实数p的取值范围是_______.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知

.

（1）若
，方程
有且仅有一解，求的取值范围；

（2）设
的内角
的对应边分别是
，且
，若
，

求
的取值范围.

18．（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了20名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：

分数段（分）

[50,70)

[70,90)

[90,110)

[110,130)

[130,150)

总计



频数







b







频率

a

0.25











（1）求表中a，b的值及分数在[90,100)范围内的学生人数，并估计这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在[90,150）内为及格）：

（2）从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选4人，设其中成绩在[100,110)内的人数为X，求X的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，平面
⊥平面
，其中
为

矩形，
为梯形，
，
，

，
为线段
的中点．

（1）求直线
与直线
所成角的余弦值；

（2）若平面
与平面
所成角为
，

且
，求线段
的长．

20．（本小题满分12分）

已知
，
分别为椭圆
的上、下焦点，

抛物线
的顶点在坐标原点，焦点为
，点
是
与
在第二象限的交点,

且
.

（1）求抛物线
及椭圆
的方程；

（2）与圆
相切的直线
交椭圆
于
两点,

若椭圆
上存在点满足
,求实数
的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）当
时，比较
与1的大小；

（2）当
时，如果函数
仅有一个零点，求实数
的取值范围；

（3）求证：对于一切正整数，都有

请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，AC为⊙O的直径，D为弧BC的中点，E为BC的中点．

（I）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC．BC= 2A D．CD．

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
的参数方程为
（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
的极坐标方程是
．

写出直线
的极坐标方程与曲线
的普通方程；

若点是曲线
上的动点，求到直线
的距离的最小值，并求出点的坐标．

24、（本大题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
．

当
时，解不等式
；

若存在实数，使得不等式
成立，求实数的取值范围．

2014～2015学年度理科数学答案

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，

有且只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

D

C

C

D

A

A

B

B

B



二、填空题（每小题5分，共20分）

（13）10； （14）4； (15) 2； （16）
.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（1）依题意可得
................................3分

∵
，∴
，
...........6分

（2）由

得
................................8分

................10分

故
..................12分

18.解析：（1）由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有2人，在[110,130) 范围内的有3人，

∴a=
b=3；分数在[70,90)内的人数20×0.25=5，结合茎叶图可得分数在[70,80)内的人数为2，所以分数在[90,100)范围内的学生人数为4，故数学成绩及格的学生为13人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为
×100%=65%.

（2）由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有7人，分数在[100,110)范围内的有4人，则随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)=
=
；P(X=2)=
=
；P(X=3)=
=
；P(X=4)=
=
.

随机变量X的分布列为

X

1

2

3

4



P











E(X)=1×
+2×
+3×
+4×
=

19.（1）由已知得
为正三角形，所以
，

因为平面
⊥平面
，平面
∩平面

，

平面
，所以
，所以所成角的余弦值为
...............5分

（2）设
，以为原点，
所在直线分别为轴和

轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则
，
，
，
，

所以
，
．

平面
，所以平面
的法向量可取
．

设
为平面
的法向量，则

可取
.由
得
，所以

得
所以
..................12分

20.（1）抛物线
的方程为
................................2分

由题意得
,又由抛物线定义可知
,得
,

所以
,从而
,

由椭圆定义知
,得
,故
,

从而椭圆的方程为
................................5分

（2）设
,则由
知,

,且
, ①

又直线
与圆
相切,所以有
,

由
,可得
②

又联立
消去得

且
恒成立,且
,

所以
,所以得
.........8分

代入①式得
,所以

又将②式代入得,
, ..................10分

易知
,所以
,

所以的取值范围为
..................12分

21．解：（1）当
时，
，其定义域为

因为
，所以
在
上是增函数

故当
时，
；当
时，
；

当
时，

（2）当
时，
，其定义域为

，令
得
，

因为当
或
时，
；当
时，

所以函数
在
上递增，在
上递减，在
上递增

且
的极大值为
，极小值为

又当
时，
；当
时，

因为函数