乌鲁木齐地区2015年高三年级第三次诊断性测验试卷

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



选项

D

B

A

B

D

A

D

C

B

A

C

B



1．选D．【解析】∵
，
，∴

．故选D．

2．选B．【解析】∵
，由题意，得
且
，

∴
．故选B．

3．选A．【解析】∵“直线
与直线
垂直”的充要条件是“
也就是
或
”，所以“
”是“直线
与直线
垂直”的充分不必要条件．故选A．

4．选B．【解析】当
时，
，
，
不成立，
；

当
时，
，
，
成立，输出
．故选B．

5．选D．【解析】依题意，此几何体的直观图如图所示．

∴
，∴
．

故选D．

6．选A．【解析】由
，得
，解得
，易知
是等比数列，公比为
，首项为
，∴
，
，∴
．故选A．

7．选D．【解析】由题意，

∴
．故选D．

8．选C．【解析】∵
，∴
，∴
，由
，得
，而
，∴
．故选C．

9．选B．【解析】设
则
，
，两式相减，

得
，依题意
，∴
，

于是
，因此
．故选B．

10．选A．【解析】∵
，∴
是以为周期的函数，

又∵
，易知

，∴
，∴
．故选A．

11．选C．【解析】不妨设棱长为，

①连结
，则
，∴
，

即
与
不垂直，又
，∴①错．

②连结
，
，在
中
，

而
，∴是
的中点，∴②对．

由②知在
中
，连结
，易知

而在
中，
，∴
，

即
，又
，∴
平面
，

∴③对．故选C．

12．选B．【解析】

．故选B．

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13．填
.【解析】由题意，得可行域如图所示，

与直线
平行，当其过
时，

纵截距
最大，为
，此时最小，最小值为
．

14．填
.【解析】甲、乙相邻的方法有
种情况，如果满足甲、丙相邻，则有
种情况，所以所求的概率为
．

15．填
.【解析】设
，由
，∴
，

又
，∴
，又
，

∴
，依题意
，即
，
，

在
中
，即

即
，∴

16．填③④．【解析】易知，
，由
两式相减，得
，即，此数列每隔一项成等差数列，由
，可得数列
的奇数项为
由
，可得其偶数项为
故
．

令
，
，
，
，①错；

令
，
，
，
，②错；

∵
，又
，∴
，

∴
，故③正确；

∵
设
，

∵
，

∴
，∴
单增，∴
，∴
，

∴

，故④正确.

三、解答题：共6小题，共70分.

17．（12分）

（Ⅰ）

∵
的图像与直线
相切，∴
为
的最大值或最小值，

即
或
，∵切点的横坐标依次成公差为
的等差数列，

∴
的最小正周期为
，即
，
，

∴
，即
； …6分

（Ⅱ）由题意知
，则
,

∴
，由
得
或
，

因此
或
．

当
时，
的单调增区间为
和
，

当
时，
的单调增区间为
． …12分

18．（12分）

以为坐标原点，建立如图所示的坐标系
，不妨设

正方体棱长为，则
，
，
，

，
，
，

（Ⅰ）∵
,平面
的法向量
，

由
，得
，又
平面
，∴
平面
．

…6分

（Ⅱ）假设在线段
上存在点
，使
平面
，

此时
，
,
,得
,

即
，得
，∴在线段
上存在点
（即
的中点）使
平面
．∵
平面
，∴平面
的法向量为
，设平面
的法向量为
，

则
,
,

即
，令
，得
，

∴

所以二面角
的平面角的余弦值为
． …12分

19．（12分）

（Ⅰ）设夫妻两人在投保期末获得赔付的金额为
，
可取
，
，
，
，
（单位：万元）




























(万元)

（Ⅱ）
人向保险公司缴纳的保险费为
（元）=
（万元），保险公司为
人赔付的费用为
（万元），所以保险公司一年的盈利为
（万元）． …12分

20．（12分）

（Ⅰ）依题意知，
，
，即
，又
，解得
，
，

∴椭圆的方程为
…5分

（Ⅱ）设直线
的方程为
，
，
在椭圆上，

将直线的方程代入椭圆方程
，整理得

则
，
…①，

又
，
，∴
…②，

设过点
三点的圆的方程为

于是
，
，

∴
,
…③

令
，∵

∴

将①②③式代入此式，并化简，得
…④，

又

将①②③式，及
代入此式，并化简，得

…⑤，依题意，
，由④⑤得，
,∴
，或
；

若
，则
，得
，

∴
或
，

此时直线经过点
或
，这与直线过椭圆在第一象限上的一点矛盾，所以
，故
，即点
在过点