理科数学参考答案

18.解：（Ⅰ）设5名大学生中恰有i名被分到体操项目的事件为Ai，

（i＝0，1，2，3，4，5），则P(A2)＝＝． …4分

（Ⅱ）ξ的所有可能取值是1，3，5．

P(ξ＝1)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝；

P(ξ＝3)＝P(A1＋A4)＝P (A1)＋P(A4)＝ ＋＝；

P(ξ＝5)＝P(A1＋A4) ＝P(A0)＋P (A5)＝ ＋＝．

则随机变量ξ的分布列为

ξ

1

3

5



P









…10分

则ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋3×＋5×＝． …12分

21.【解析】(1)在C：(x－1)2＋(y－1)2＝2中，

令y＝0得F(2，0)，即c＝2，令x＝0，得B(0，2)，b＝2，

由a2＝b2＋c2＝8，∴椭圆Γ：＋＝1. (4分)

(2)法一：

依题意射线l的斜率存在，设l：y＝kx(x>0，k>0)，设P(x1，kx1)，Q(x2，kx2)

由得：(1＋2k2)x2＝8，∴x2＝.(6分)

由得：(1＋k2)x2－(2＋2k)x＝0，∴x1＝，　

∴·＝·(x2，kx2)＝(x1x2＋k2x1x2)＝2(k>0). (9分)

＝2＝2.

设φ(k)＝，φ′(k)＝，令φ′(k)＝>0，得－1

又k>0，∴φ(k)在上单调递增，在上单调递减．

∴当k＝时，φ(k)max＝φ＝，即·的最大值为2. (12分)

22.（Ⅰ）证明：因为∠A＝∠TCB，∠ATB＝∠TCB，

所以∠A＝∠ATB，所以AB＝BT.

又AT 2＝AB(AD，所以AT 2＝BT(AD． …4分

（Ⅱ）取BC中点M，连接DM，TM．

由（Ⅰ）知TC＝TB，所以TM⊥BC．

因为DE＝DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．

所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．

所以∠ABT＝∠DBT＝90(. 所以∠A＝∠ATB＝45(. …10分