长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．全集U={1，2，314，5，6），M={2，3，4），N={4，5}，则
等于

A．{1，3，5} B．{1，5}

C．{l，6} D．{2，4，6}

2．“x<0”是“1n（x+1）<0，，的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下图所示的算法流程图中，若输出的T= 720，则正整数a的值为

A．5 B．6

C．7 D．8

4．一个空间几何体的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，则该几何体的体积等于

A．
B．2
C．3
D．6

5．在区间[一
，
]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数
2有零点的概率为

A．
B．1一
C．
D．l－

6．已知双曲线
=1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为

A．
B．

C．
D．

7．设
是偶函数，
是奇函数，那么a十6的值为

A．1 B．一1 C．一
D．

8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是

A．甲地：总体均值为3，中位数为4

B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0

C．丙地：中位数为2，众数为3

D．丁地：总体均值为2，总体方差为3

9．如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，AC=4，BC=2，D、E

分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一

点，则
的取值范围是

A．[-7，7] B．[-8，8]

C．[-9，9] D．[-10，J．O]

10．已知函数
函数
，若存在
，使得
成立，则实数a的取值范围是

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．已知直线
的参数方程：
（t为参数）和圆C的极坐标方程：
，则直线
和圆C的位置关系为

12．在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是（11，-7），（1，-2），且
（其中
为虚数单位），则z+y的值为 .

13．如图，函数
的图象在点P（5，F（5））处的切线方程是y=ax十8，若
，则实数a= .

14．若向量a=（x一1，2），b=（4，y）相互垂直，则9x+3y的最小值为

15．如图，直线与抛物线y2 =2px（p>0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB于D，若点D的坐标为（2，1），则p的值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知某单位有50名职工，从中按系统抽样抽取10

名职工．

（1）若第5组抽出的号码为22，写出所有被抽出职

工的号码；

（2）分别统计这10名职工的体重（单位：公斤），获

得体重数据的茎叶图如图所示，现从这10名

职工中随机抽取两名体重超过平均体重的职工，求体重为76公斤的

职工被抽取到的概率．

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边之长依次为a，b,c，且cos A=
，

（1）求cos 2C和角B的值；

（2）若a-c=
，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

如图所示，已知圆O的直径AB长度为4，点D

为线段AB上一点，且AD=
DB，点C为圆O

上一点，且BC=
AC．点P在圆O所在平面上

的正投影为点D，PD=B D．

（1）求证：CD⊥平面PAB；

（2）求PD与平面PBC所成的角的正弦值．

19．（本小题满分13分）

已知无穷数列{an}中，a1、a2、…am构成首项为2，公差为－2的等差数列，am+1、am+2、…a2m构成首项为
，公比为
的等比数列，其中m≥3，m∈N*．

（1）当1≤n≤2rn，m∈N*时求数列{an}的通项公式；

（2）若对任意的m∈N*，都有an+2m=an成立，

①当
时，求m的值；

②记数列{an}的前n项和为Sn判断是否存在m，使得S4m＋3≥2成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由，

20．（本小题满分13分）

如图，椭圆
经过

点
，离心率e=
直线
的方

程为x=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线
相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数
，使得k1+k2=
k3若存在，求
的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分13分）

设函数
为常数，e=2．718 28…是自然对数的底数）．

（1）当k≤0时，求函数
的单调区间；

（2）若函数
在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围。