长郡中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数
（a
R）是纯虚数（i是虚数单位），则a的值为

A．-2 B．-1 C．1 D．2

2．若Sn，是等差数列{an}的前n项和，有S8－S3=10，则S11的值为

A．12 B．18 C．44 D．22

3．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
B．
C．
D．

4．设f（x）=
，若f（f（1））=l，则a的值是

A．-1 B．2 C．1 D．-2

5．已知
，
表示两个不同的平面，m为平面
内的一条直线，则“
⊥
”是 “m⊥
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．△ABC中，锐角A满足sin4A－cos4A≤sin A－cos A，则

A．0
A≤
B．0
A≤

C．
≤A≤
D．
≤A≤

7．斜率为
的直线与椭圆
交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，该椭圆的离心率为

A．
B．
C．
D．

8．已知等边△ABC中，点P在线段AB上，且
，若
·
·
，则实数
的值为

A．2 B．
C．1－
D．

9．已知方程kx+3－2k =
有两个不同的解，则实数k的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

11．
的展开式中的常数项为 。

12．已知等比数列{an}的公比为正数，且a5·a7=4a
，a2=l，则a1= 。

13．由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是

。

14．存在x
0使得不等式x2
2
成立，则实数t的取值范围是 。

15．已知圆O：x2+y2=l与x轴交于点A和B，在线段AB上取一点D(x，0)，作DC⊥AB与圆O的一个交点为C，若线段AD、BD、CD可作为一个锐角三角形的三边长，则X的取值范围为

。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数f (x)=
。

(1)求
的值；

(2)当
时，求g(x)=
f(x)+sin 2x的最大值．

17．（本小题满分12分）

如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=l，E是PD的中点．

（1）求AB与平面AEC所成角的正弦值；

（2）若点F在线段PD上，二面角E－AC－F所成的角为
，且tan
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a－x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f（x）=
，定义域为A．

（1）写出y=f（x）的图象的对称中心，并用以上定理证明；

（2）当x
[a－2，a－l]时，求f（x）的值域；

（3）对于给定的x1
A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn+1=f（xn）．如果x1
A（i=2，3，4，…），构造过程将继续下去；如果xi
A，构造过程将停止．若对任意xi
A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

19．（本小题满分1 3分）

已知数列{an}中，a1=l，且当x=
时，函数f（x）=
an·x2+（2－n－an+1）·x取得极值．

（1）若bn=-2n－1·an求数列{bn}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和Sn；

（3）试证明：n
3（n
N*）时，Sn

．

20．（本小题满分13分）

如图，已知两点A（
，0）、B（
，0），△ABC的内切圆的圆心在直线x=2上移动．

（1）求点C的轨迹方程；

（2）过点M（2，0）作两条射线，分别交（1）中所求轨迹于P、Q两点，且
·
=0，求证：直线PQ必过定点，并求出定点坐标．

21．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=a（x
）－21nx（a
R）．

（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）设函数g（x）
．若至少存在一个x0
[1，e]，使得f（x0）
g（x0）成立，求实数a的取值范围．