豫南九校2014—2015学年上期第三次联考

高三数学（理）试题

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．集合A＝｛x∈R｜
＝x}，B＝｛x∈R｜
＝x}，则集合A∩B的子集个数为

A．1 B．2 C．4 D．8

2．已知等比数列{
}中，a3，a7是一元二次方程
＋7x＋9＝0的两根则a5＝

A．3 B．－3 C．
3 D．9

3．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，
），（δ＞0）若p（ξ＜0）＋p（ξ＜1）＝1，则μ的值

A．－1 B．1 C．－
D．

4．若复数a＝3＋2i，b＝4＋mi，要使复数
为纯虚数，则实数m的值为

A．－6 B．6 C．
D．－

5．已知数列{
}，a1＝1，
＝
＋n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是

A．n≤8? B．n≤9?

C．n≤10? D．n≤11?

6．曲线y＝
与直线y＝x－1及x＝4所围成的封闭

图形的面积为

A．2－ln2

B．4－2ln2

C．4－ln2

D．2ln2

7．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的

尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是

A．
cm3 B．
cm3

C．
cm3 D．
cm3

8．已知x，y满足约束条件
，则

z＝2x－y的最大值为

A．－3 B．1

C．13 D．15

9．已知sin10°＝k，则sin110°＝

A．1－
B．2
－1 C．1－2
D．1＋2

10．过抛物线
＝4x的焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交C于A、B，l2交C于M、N．则
＋
＝

A．
B．
C．
D．

11．二次函数y＝
－2x＋2与y＝
＋ax＋b（a＞0，b＞0）在它们的一个交点处的切线 互相垂直，则
＋
的最小值为

A．
B．4 C．
D．

12．定义[x]表示不超过x的最大整数，若f（x）＝cos（x－[x]），则下列结论中：

①y＝f（x）为偶函数；

②y＝f（x）为周期函数，周期为2π；

③y＝f（x）的最小值为cos1，无最大值：

④y＝f（x）无最小值，最大值为1．

正确的命题的个数为

A．0个 B．1个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分．共20分

13．
的展开式中
的系数是10，则实数a的值为

_______________（用数字作答）

14．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，

AP＝3，则
·
＝______________．

15．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠B＝90°, BC＝1，AC＝3，已知

三棱锥O－ABC的体积为
，则球O的表面积为_______________．

16．正实数列{
}满足
＝
，n＝3，4，…其中m为非零实数，若a1·a2014＝4，则 m＝___________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知
＝（asinx，cosx），
＝（sinx，bcosx），其中a，b，x∈R，若f（x）＝
·
满足f（
）＝2，且f（x＋
）＝f（
－x）．

（1）求a，b的值：

（2）若关于x的方程f（x）＋
＝0在区间[0，
]上总有实数解，求实数k的取值范围．

18．（本小题满分12分）

市面上有三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为
，第二、三种产品受欢迎的概率分别为p，q（p＞q），且不同种产品是否受欢迎相互独立．记ξ为三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为

（1）求至少有一种产品受欢迎的概率；

（2）求p，q的值；

（3）求数学期望Eξ．

19．（本小题满分12分）

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，

△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB．

F为CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE：

（3）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

如图已知椭圆
（a＞b＞0）的离心率

为
，且过点A（0，1）．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于

M，N两点．求证：直线恒过定点P．并求点P的坐标．

21．（本小题满分12分）

已知a∈R，函数f（x）＝
＋lnx－1，g（x）＝（lnx－l）
＋x（其中e为自然对数的底数）．

（1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；

（2）是否存在实数x0∈（0，＋∞），使曲线y＝g（x）在点x＝x0处的切线与y轴垂直?若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．

【选作题】

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与

圆O的一个交点为P，过点A作直线交圆O于

点Q，交圆B于点M、N．

（1）求证：QM＝QN；

（2）设圆O的半径为2，圆B的半径为1，当

AM＝
时，求MN的长．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：
＝2acosθ（a＞0），过点P（－2，－4）的直线l的参数方程为：

（t为参数），直线l与曲线C相交于M，N两点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若｜PM｜，｜MN｜，｜PN｜成等比数列，求a的值．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设f（x）＝2｜x｜－｜x＋3｜．

（1）求不等式f（x）≤7的解集S；

（2）若关于x的不等式f（x）＋｜2t－3｜≤0有解，求参数t的取值范围．

理数答案及提示

1-5 CBDAB 6-10BCCCD 11-12CB

13、

14、18

15、

16、

10.提示：法一：可利用过焦点的弦长
进行计算.

法二：可通过特殊位置来考虑：将AB看做通径，则
，此时

16.提示：依条件可知
是一个T=6的周期数列.

17、解（1）
=

由
得
……………………………………(3分)

又
得
…………………………………...(5分)

则有
………………………………（6分）

（2）由（1）得

…………(9分)

………………………………..（12分）

18． 解：设事件
表示“第i种产品受欢迎”，i=1,2,3;

由题意得

设所求事件为B，则
………..(3分)

由题意得：

整理得：
……(8分)

由题意知：
=
+
+

=
………………………(10分)

……………………….(12分)

19.（1）证明:取CE的中点G,连FG、BG.

可证得四边形GFAB为平行四边形，则AF//BG

即可证得AF//平面BCE. …………………………..(4分)

依题意证得BG
平面CDE，即可证得平面BCE
平面CDE…….(8分)

设AD=DE=2AB=2,建立如图所示的坐标系A—xyz,

则A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,0,1),D(1,
,0),E(1,
,2),F（

设平面BCE的法向量为
由

可取
，

设BF和平面BCE所成的角为
，则：

sin
=
……………………………(12分)

20.（1）由题意得：a=2, b=1

所以椭圆C的方程为：
………………(3分)

（2）法1：直线MN恒过定点P（0，
，下面给予证明：

设直线
的方程为
联立椭圆方程，消去
得;

,解得

同理可得：
……………………(8分)

，

.

故直线MN恒过定点P （０，
……………………(12分)

法2：同法（1）求得M、N两点坐标后，可得直线ＭＮ的方程为：

直线ＭＮ恒过定点Ｐ（０，
　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

21.解: (1)

,

①若
在(0，e)上单调递增；

②
在（0，a）上单调递减，在(a,e) 上单调递增;

③若

在(0，e)上单调递减. ……………………..(5分)

(2)因为
，

所以

由（1）易知，当a=1时，

在
的最小值为：

即

又

曲线
在点
处的切线与y轴垂直等价于方程
有实数解.

而
即方程
无实数解，故不存在. …………(12分)

22.（1）证明：连接BM、BN、BQ、BP

B为小圆的圆心，
BM=BN

又因AB为大圆的直径，


……..(5分)

（2）因AB为大圆的直径，

AP为圆B的切线，

由已知AB=4，PB=1，
.

又AM=
所以MN=
………………………….(10分)

23.解:(1)曲线C的直角坐标方程

直线
的普通方程为
………………………….(4分)

（2）将直线
的参数方程代入
得

设M、N两点对应的参数分别为

则有

=

解得
或
（舍） …………………………………..(10分)

24.解：（1）

在同一坐标系下作出
与
的图像，可知二者相交于横坐标为
的两点，因此得S=[
. …………………………………….（5分）

（2）由（1）知，
的最小值为-3，则不等式
有解，且只需

解得

的取值范围是
. ……………………………….(10分)