成都市实验外国语学校高2012级（高三）12月月考数学试题

理科

命题人：赵光明

一、选择题：本大题共10小题
，每小题5分，共50分.

1、复数
为纯虚数，若
(
为虚数单位)，则实数
的值为(　D 　)

A．
　 B．2　　 　C．
　　 　D．

2、在锐角△
中，角

所对应的边分别为
，若
，则角
等于( A )

A.
B.
C.
D.

3、已知等差数列
中，
是方程
的两根，则
（ D ）

A．
　 B．
C．1007 D．2014

4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B等于（ A ）

A．63 B．31 C．127 D．15

若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，

则m＝(　C　)

A．21 B．19 C．9 D．－11

6、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(　B )

A. B. C. D.

7、已知函数
（其中
），其部
分图像如下图所示，将
的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到
的图像，则函数
的解析式为（ B ）

A.
B.

C.
D.

8、已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　C　)

A．5 B．29 C．37 D．49

已知P是以F1，F2为焦点的椭圆
上的任意一点，若∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，且cosα=
，sin(α+β)=
，则此椭圆的离心率为（ D ）

A
B
C
D

10．设函数
有两个极值点
，且
，则（ D ）

A
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.

已知集合
，集合
为整数集，则

.

12、已知
10

13、已知向量

，向量
，则
在
方向上的投影为__2___

14、已知函数
，则
_4028_.

15、已知下列五个命题：

①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的
，其体积缩小到原来的
；

②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；

③直线
与圆
相切；

④“
”是“
”的充分不必要条件.

　⑤过M（2,0）的直线l与椭圆
交于P1P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2等于－

其中真命题的序号是：1，3，5

三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）已知函数
，
三个内角
的对边分别为
.

（I）求
的单调递增区间及对称轴的方程；

（Ⅱ）若

，求角
的大小.

解：（I）因为

令
解得

所以函数
的单调增区间为
，

对称轴的方程

(Ⅱ) 因为
所以
，

又
，

所以
，

所以

由正弦定理

把
代入，得到

又

，所以
，所以

17、成都市海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．

地区

A

B

C



数量

50

150

100



(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C地区的样品数X的分布列及数学期望。

解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是＝，

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1，150×＝3，100×＝2.

所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.

由题意可知X可为0，1，2.

则

x

0

1

2



p









则

18、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）证明：BN⊥平面C1B1N； （2）求二面角
的正弦值


18.解（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

则

,

,

以B为原点，BA为x轴，BB1为Y轴，BC为Z轴建立空间直角坐标系

可得二平面的法向量
。
则所求值为

19、已知数列
满足：
，
.数列
的前
项和为
，
.

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）设
，
.求数列
的前
项和
.

解：（Ⅰ）由
得
，又
，

所以
是以1为首项，
为公差的等差数列，则
，
.

当
时，

当
时，
，

，

又
时
，所以
，
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
，
，所以
.

所以
………(1)

等式两边同乘以
得

………(2)

(1)-(2)得

所以
.

20、（本小题满分13分）已知椭圆C:
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：
与椭圆C相交于A、B两点，且

求证：
的面积为定值

解：（Ⅰ）由题意得，
，
，又
，

联立解得
，
椭圆的方程为
.

（Ⅱ）设
，
则A,B的坐标满足

消去y化简得，

，
，
得

=
。

，
，即

即

=

。O到直线
的距离

=

=
=
为定值.

21、设函数
.

(1)若函数
在
处有极值，求函数
的最大值；

(2)是否存在实数
，使得关于
的不等式
在
上恒成立？

若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)记
，证明：不等式
．

21．解析：（1）由已知得：
，且函数
在
处有极值

∴
，即
∴

∴

当
时，
，
单调递增；

当
时，
，
单调递减；

∴函数
的最大值为

（2）由已知得：

①若
，则
时，

∴
在
上为减函数，

∴
在
上恒成立；

②若
，则
时，

∴
在
上为增函数，

∴
，不能使
在
上恒成立；

③若
，则
时，
，

当
时，
，∴
在
上为增函数，

此时
，

∴不能使
在
上恒成立；

综上所述，
的取值范围是

(3) 由（1）、（2）得：