第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设复数
，
，若
，则的值为( )

A．
B．
C． D．

2．若
，则正数
的值为( )

A．0 B．1 C．0或 D．

3.函数
的定义域是 ( )

A．
B．
C．
D．

4.平面向量
，
的夹角为
，
，
， 则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知
，如果是的充分不必要条件，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

6. 若
则
（ ）

A.
B．
C.
D．

7. 设，满足约束条件
，若目标函数
的最大值为，则
的最大值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

8．已知数列
是等差数列，若
，且数列
的前项和
有最大值，那么
取得最小正值时等于（　 ）

A．4029 B．4028 C．4027 D．4026

9. 在实数集中定义一种运算“”，
，
为唯一确定的实数，且具有性质：

（1）对任意
，
； （2）对任意
，
．

关于函数
的性质，有如下说法：①函数
的最小值为
；②函数
为偶函数；③函数
的单调递增区间为
．其中正确说法的序号为（ ）

A．① B．①② C．①②③ D．②③

10．如图，正△ABC的中心位于点G（0，1），A（0，2），动点P从A点出发沿△ABC的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量
在
方向的投影为y（O为坐标原点），则y关于x的函数y=f（x）的图象是（　　）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置)

11.设集合
，
，若
,则的值是 ．

12.若函数
且
,若
是偶函数，且在
内是减函数，则整数的值是__________．

13.已知函数
的部分图像如图，

令
则
．

14. 定义域为的偶函数
满足对任意
，有
，且当
时，
，若函数
在
上至少有三个零点，则的取值范围是 ．

三、选做题（在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分）

15. (1)（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆
在点
处的切线方程为 ．

(2)（不等式选讲选做题）已知函数
．若不等式
的解集为
，则实数的值为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分12分）

已知向量
，向量
，函数
.

(1)求
的最小正周期；

(2)已知，
，分别为
内角，，
的对边，为锐角，
，
，

且
恰是
在
上的最大值，求，
和
的面积
.

17. (本小题满分12分)

已知函数
（
）在区间
上有最大值和最小值．

设
．

（1）求、
的值；

（2）若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.

18．（本小题满分12分）

2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣。甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素
的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：

编号

1

2

3

4

5





169

178

166

175

180





75

80

77

70

81



（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素
满足
，且
,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数
的分布列及其均值（即数学期望）。

19 ．（本小题满分12分）

如图,在直三棱柱
中，
平面
，其垂足落在直线
上．

（1）求证：
⊥

（2）若
，
，为
的中点，

求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分13分）

已知数列
为等比数列，其前项和为
，已知
，且对于任意的
有
，
，
成等差数列；

（1）求数列
的通项公式；

（2）已知
（
），记
，若
对于
恒成立，求实数的范围。

21．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当
时，求
的最小值；

（2）在区间
内任取两个实数
,若不等式

恒成立，求实数a的取值范围；

（3）求证：
（其中
）.

2014—2015学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考

高三数学（理科）参考答案

四、解答题

16. 解: (1)

………………3分

因为
，所以
……………………5分

(2) 由(1)知：
当
时,

由正弦函数图象可知,当
时
取得最大值
。 …………8分

所以
,
…………………9分

由余弦定理，
∴
∴
………10分

从而
……………………12分

17. 解：（ 1）
，因为
，所以
在区间
上是增函数，

故
，解得
． ………………5分

（2）由已知可得
，所以
可化为
，

化为
，令
，则
，因
，故
，

记

，因为
，故
， 所以
的取值范围是
．……12分

18. 解：（1）乙厂生产的产品总数为
；…………………2分

（2）样品中优等品的频率为
，乙厂生产的优等品的数量为
；…………4分

（3）
， ……………………5分

，…………8分

的分布列为

0

1

2













 ………………11分

均值
…………………12分

19 ．（本小题满分12分）

解析：（Ⅰ）证明：三棱柱
为直三棱柱，

平面
，又
平面
，

-
平面
，且
平面
，

. 又
平面
,
平面
,
，

平面
， 又
平面
，

⊥
…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面
，其垂足落在直线
上,

.

在
中，
，AB=2，
,

在直三棱柱
中，

. 在
中，

,

则 (0,0,0),
,C（2，0，0）,P（1，1，0）,
（0，2，2
）,

（0，2，2
）

设平面
的一个法向量

则
即
可得

设平面
的一个法向量
则
即

可得

平面
与平面
的夹角的余弦值是
………12分

（或
在
中，
，AB=2,

则BD=1 可得D(

平面
与平面
的夹角的余弦值是
………12分）

20.解：（1）

…………4分

（2）
，

………10分

若
对于
恒成立，则
，

，
，

令
，

所以
为减函数，

…………13分

21．解：（1）

得

上递减，
上递增。

. …………………………………4分

（2）
，

表示点
与点
连成的斜率，又
，

，即函数图象在区间
任意两点连线的斜率大于1，

即
内恒成立……………………….6分

所以，当
恒成立.

设

若

当
上单调递减；当
上单调递增……8分

又
故
……………………… 9分