一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，则
中元素的个数为（ ）

A．3 B．2 C．7 D．5

2．若
，
，则
与
的大小关系为 （ ）

A.
B.
C.
D.

3．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的函数是( )

A.
B.
C.
D.

4．设曲线
在点
处的切线与直线
平行，则
（ ）

A．2 B．
C．
D．

5．
为平行四边形
的一条对角线，
（ ） A．
B．
C．
D．

6．已知
，若
，则=（ ）

A.1 B. 4 C.- 2或4 D. -2

7．已知变量
满足条件
，则
的最小值是（ ）

A.
B. C.
D.

8．某三棱锥的三视图如图所示， 该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．
C． D．

9．边长为
的三角形的最大角与最小角的和是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
，
，则
的最小值是（ ）

A. 3 B. 4 C.
D.

11．已知函数
，若存在
且
，使得
　成立，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．已知函数
，设
，且函数
的零点均在区间
内，圆
的面积的最小值是（ ）

A.
B.
C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知等差数列
的前项和为
，若
，则
_____________.

14．若不等式
的解集为
，则实数
_____________.

15.已知函数

的图像与直线
有且只有两个交点，且交点的横坐标分别为
，那么
=_____________.

16．已知函数
在区间
内任取两个实数
，且
，不等式
恒成立，则实数的取值范围为_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)设
实数满足
，其中
.

实数满足
.

（1）若
且
为真，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

18. (本小题满分12分)设向量=
，
=
，其中
，
,已知函数
·
的最小正周期为
.

（1）求的值；

（2）若
是关于的方程
的根，且
，求
的值.

19. (本小题满分12分)已知函数
的图象过点
，点
关于直线
的对称点
在
的图象上．

（1）求函数
的解析式；

（2）令
，求
的最小值及取得最小值时的值．

20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥
中，侧棱
⊥底面
，
,
，
，
．
是棱
的中点．

（1）求证：
面
；

（2）设点是线段
上的一点，且
在
方向上的射影为，记
与面
所成的角为
，问：为何值时，sin
取最大值？

21.(本小题满分12分)已知数列
满足

，且

.数列
的前项和为
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）符号
表示不超过实数的最大整数，记
，
为数列
的前项和，求
.

22. (本小题满分12分)已知函数
.

（1）是否存在实数，使得不等式
在
上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（2）求证：
（其中
，是自然对数的底数）．

数学理答案

17.

解：依题意知：

，所以
，即
.

（1）当
时，

要使
为真，则须满足
，解得：
；

（2）是的必要不充分条件

，解得：
.

19. 解：（Ⅰ）点
关于直线
的对称点Q的坐标为
.

由
得

解得
，
，故函数解析式为
．

20. (本小题满分12分)如图，在四棱锥
中，侧棱
⊥底面
，
,
，
，
．
是棱
的中点．

（1）求证：
面
；

（2）设点
是线段
上的一点，且
在
方向上的射影为，记
与面
所成的角为
，问：为何值时，sin
取最大值？

解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

则

设平面SCD的法向量是
，则

即

令
，则
，于是

∵
，∴
，∴AM//平面SCD

（2）设
，则
.

又，面SAB的法向量为
，

所以，.

.

当
，即
时，

（2）由（1）知
，所以
.

当
时，
，
.

所以

两式相减得：

.

22. (本小题满分12分)已知函数
.

是否存在实数，使得不等式
在
上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（2）求证：
（其中
，是自然对数的底数）．

要使
恒成立，只须
，

令
，
，所以
，
，
，
，
，所以m=1.

综上，m的取值范围是m=1.

据（1）知
在
上恒成立.

所以
在区间
上恒成立

又
，

∵

，

∴
．