江西省红色六校2015届高三第一次联考数学（理）试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）

命题人： 南城一中 瑞金一中

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 若复数满足
，则的虚部为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．集合
＞
则下列结论正确的是（ ）

A.
B.

C.
D.

3．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
R使得
”的否定是：“
R均有
”．

4．函数
（其中＞0，
＜
的图象如图所示，

为了得到
的图象，只需将
的图象( )

A.右平移
个单位长度

B.左平移
个单位长度

C.右平移
个单位长度

D.左平移
个单位长度

5. 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是( )

A． B. C. D.

6．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（　　）

7.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线x-2y+4=0与C交于A、B两点，则sin∠AFB=（ ）

8．已知函数

，若函数
有三个零点，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．设
是
的展开式中项的系数（
），若
，则
的

最大值是( )

A．
B．
C．
D．

10.已知A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＞x2）是函数f（x）=x3-|x | 图像上的两个不同点，且在A，B两点处的切线互相平行，则
的取值范围为 （ ）

二、选做题（考生注意：请在（1）（2）两题中，任选做一题作答，若多做，则按（1）题计分）

11.（1）（坐标系与参数方程）曲线C1的极坐标方程为
曲线C2的参数方程为
（为参数），以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C1上的点与曲线C2上的点最近的距离为( )

A．
B．
C．2 D．

11.（2）若关于x的不等式
在R上的解集为，则实数的取值范围是（ ）

三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置上）

12．如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线
及直线
与轴围成的区域，向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为
，则
．

13. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的方法是__________（用数字作答）

14.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中
，下列判断正确的是________________

①.满足
的点P必为BC的中点 ②.满足
的点P有且只有两个 ③.
的最大值为3 ④.
的最小值不存在

15.对于一切实数x，令［x］表示不大于x的最大整数，记f(x)= ［x］，若an=f(
)(n∈N+),Sn为数列｛an｝的前n项和，则S4n= ．

四、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卷相应题目的答题区域内作答)

16.（本小题满分12分） 已知向量
，设函数
,（Ⅰ）求函数
的表达式及它的值域； （Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，为锐角, 若

，
，
的面积为
，求边的长．

17．（本小题满分12分）

已知等比数列
满足
且
是
的等差中项

（1）求数列
的通项公式

（2）若
求使
成立的正整数的最小值

18. （本小题满分12分）

在2013年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题．规定：至少正确回答其中2题的便可通过．已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响．

(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望；

(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力．

19.（本小题满分12分）

已知在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，AC = AD = CD = DE = 2，F为CD的中点。

（1）求证：AF⊥平面CDE；

（2）求平面ABC和平面CDE所成的小于90(的二面角的大小；

（3）求点A到平面BCD的距离的取值范围。

20．(本题满分13分)

已知椭圆
的离心率为
,且过点
.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若
,

(i) 求
的最值.

(ii) 求证：四边形ABCD的面积为定值；

21.（本小题满分14分）已知函数
。（为常数，
）

（1）若
是函数
的一个极值点，求的值；

（2）求证：当
时，
在
上是增函数；

（3）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求实数的取值范围。

江西省红色六校2015届高三第一次联考数学（理）答案

一、选择题

1

２

３

４

５

６

７

８

９

１０



Ｂ

D

C

C

A

B

B

D

D

C





二、选做题（5'×1=5')

11(1) A 11(2) C

三、填空题(5'×4=20')

12、 13、160 14、②③　 15、2n2-n

三、解答题

16题（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得：

，
……………………………5

（Ⅱ）由

得：
，化简得：
, 又因为
，解得：
…………………8分

由题意知：
，解得
，………………10分

又
,所以

故所求边的长为5。 ……12分

17：（本小题满分12分）

解（1）设等比数列
的公比为

由
得
………2分

由①得
解得
或
………4分

当
时，不合题意舍去

当
时，代入②得
则
………6分

（2）因为
………7分

所以

……………10分

因为
所以

即
，解得
或
.

又
故使
成立的正整数的最小值为10.……………12分.

18.（本小题满分12分）

解：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为ξ、η，则ξ的可能取值为1，2，3，…… 1分

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， ………………3分

∴考生甲正确完成题数的分布列为

ξ

1

2

3



P









Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. ………………4分

又η～B(3，)，其分布列为P(η＝k)＝C·()k·()3－k，k＝0，1，2，3；∴Eη＝np＝3×＝2.…6分(II)∵Dξ＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝，Dη＝npq＝3××＝，………………8分∴DξP(η≥2)．………………10分

从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大．因此可以判断甲的实验通过能力较强．………………12分

19、解：

（1）证明：∵AB⊥平面ACD，AB∥DE，∴DE⊥平面ACD，

∵AF平面ACD，∴DE⊥AF．又∵AC=AD=CD，F为CD中点，

∴AF⊥CD．∵DE(平面CDE，CD(平面CDE，CD∩DE＝D，

∴AF⊥平面CDE． …………………4分

（2）解法一：∵AB∥DE，AB平面CDE，DE(平面CDE，∴AB∥平面CDE，

设平面ABC∩平面CDE＝l，则l∥AB．即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线l．[学.科.网]

∵AB(平面ADC，∴l(平面ADC．∴l(AC，l(DC．

∴(ACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角．

∵AC＝AD＝CD，∴(ACD＝60(，

∴平面ABC和平面CDE所成的小于90(的二面角的大小为60( ………8分

解法二：如图，以F为原点，过F平行于DE的直线为x轴，以直线FC，FA为y轴，z轴

建立空间直角坐标系．∵AC＝2，∴A(0，0，)，设
，B(x，0，)，C(0，1，0)

，
，设平面ABC的一个法向量为
，

则由
，
，解得
，不妨取
，则
，

∵又AF(平面CDE，∴平面CDE的一个法向量为
，

∴

∴平面ABC与平面CDE所成的小于90(的二面角的大小为60( ……………8分

（3）解法一：设AB＝x，则x＞0．∵AB(平面ACD，∴AB(CD．又∵AF(CD，AB(平面ABF，

AF(平面ABF，AB∩AF＝A，∴CD(平面ABF．∵CD(平面BCD，∴平面ABF(平面BCD．

连BF，过A作AH(BF，垂足为H，则AH(平面BCD．线段AH的长即为点A到平面BCD的距离．

在Rt△AFB中，AB＝x，AF＝CD＝，

∴BF＝，AH＝＝∈(0，) ……………………………12分

解法二：设AB＝x，∵AC＝CD＝DA＝2，AB(平面ACD．∴VB－ADC＝(S△ADC(BA＝((22(x＝x．

∵BC＝BD＝，CD＝2，∴S△BCD＝(2(＝，设点A到平面BCD的距离为d，

则VA－BCD＝(S△BCD(d＝．∵VB－ADC＝VA－BCD．

∴x＝，解得d＝∈(0，) ……………………………12分

20. 解：(1)由题意
，
，又
，……………………… 2分

解得
,椭圆的标准方程为
.…………………………………4分

(2)设直线AB的方程为
，设

联立
，得

----------①

…………………………………………6分

………………………………………7分

=

………………………………8分

……………………………………9分

(i)

当k=0(此时
满足①式),即直线AB平行于x轴时，
的最小值为-2.

又直线AB的斜率不存在时
，所以
的最大值为2. …………………11分

(ii)设原点到直线AB的距离为d，则

.

即,四边形ABCD的面积为定值…………………………………………………………13分

21．（本小题满分14分）解⑴

（1）由已知，得
且
，


…3分

（2）当
时，

当
时，
又

故
在
上是增函数 ……………6分

（3）
时，由（2）知，
在
上的最大值为

于是问题等价于：对任意的
，不等式
恒成立。

………………8分

记

则
……………9分

当
时，

在区间
上递减，此时

由于
，
时不可能使
恒成立，故必有
……………11分

若
，可知