江西省红色六校2015届高三第一次联考数学文科试题

（分宜中学、莲花中学、任弼时中学、瑞金一中、南城一中、遂川中学）

命题人： 南城一中 瑞金一中

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、
（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

3．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过4的概率记为
，点数之和大于8的概率记为
，点数之和为奇数的概率记为
，则 （ ）

A．
B．
　　

C．
D．

4.已知
为偶函数，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

5. 若样本
的方差是，则样本
的方差为 （ ）

A. 3+1 B. 9+1 C. 9+3 D. 9

6.执行如图1所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
属于（ ）

A.
B.
C.
D.

7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，

则该几何体的体积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

8.
的三个内角为，，
，若
，则
的最大值为（ ）

A．
B． C．
D．

9．设
、
分别为双曲线
的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足
，且
到直线
的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 ( )

A.
B. 2 C.
D.

10. 在平面直角坐标系中，两点
间的“L-距离”定义为
，则平面内与轴上两个不同的定点
的“L-距离”之和等于定值（大于
）的点的轨迹可以是 （ ）

二、填空题：本大题共5小题，第小题5分，共25分．

11、曲线
在点
处的切线方程为

12.已知数列
满足
，且
，

则
的值是

13. 已知向量
若
则
的值为 .

14. 已知椭圆C：
，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则
.

15. 给出下列四个命题：

A．
中，
是
成立的充要条件；

B．当
时，有
；

C．已知
是等差数列
的前n项和，若
，则
；

D．若函数
为R上的奇函数，则函数
的图象一定关于点
成中心对称.

其中所有正确命题的序号为 ．

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了
名学生作为样本，得到这
名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：

（Ⅰ）求出表中
的值；

（Ⅱ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于
次的学生中任选人，求至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率．

分组

频数

频率





9

0.45





5

n





m

r





2

0.1



合计

M

1





17．（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边分别为
，且

（1）若
，求
的值;

（2）若
，且
的面积
，求

和
的值.

18.（本小题满分12分）已知数列
的前项和为
，且

．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设

，
，求使
成立的最小的正整数的值．

19. （本小题满分12分）

如图，已知
⊥平面
，
∥
，
=2，且是
的中

点．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面
；

(III)求此多面体的体积．

20.（本小题满分13分）

设椭圆
的左右焦点分别为
、
，是椭圆
上的一点，
，坐标原点
到直线
的距离为
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
是椭圆
上的一点，
,连接QN的直线交轴于点
，若
，求直线
的斜率．

21．（本小题满分14分）

设函数
.

（1）当
（为自然对数的底数）时，求
的最小值；

（2）讨论函数
零点的个数；

（3）若对任意
恒成立，求的取值范围.

江西省红色六校2015届高三第一次联考文数试题

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1-5 C D A B D 6-10 B A C D A

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11、
12、5 13、
14、20 15、 A、C

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．解析：(Ⅰ)因为
，所以
…… 2分

又因为
，所以
…… 3分

所以
， …… 4分

…… 5分

(Ⅱ)设参加社区服务的次数在
内的学生为
，参加社区服务的次数在
内的学生为
； …… 6分

任选名学生的结果为：

共
种情况 ； …… 8分

其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的情况有

，共
种情况 …… 10分

每种情况都是等可能出现的，所以其中至少一人参加社区服务次数在区间
内的概率为
. …… 12分

17、（1）由题意可知
………………（2分）

由余弦定理得
……（5分）

（2）由
可得

……7分

化简得

即：∴
……8分

……9分

即
……10分

又
∴

由于
……11分

∴
即
… …12分

18.（1） 当
时，
，由，
……1分

当
时，
…… 2分

……3分

∴
是以
为首项，
为公比的等比数列． ……………4分

故

　 ………………6分

（2）由（1）知
， ……7分

………………8分

……9分

……10分

， …… 11分

故使
成立的最小的正整数的值
.…12分

19．解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，

∴FP∥DE，且FP=
…… 1分

又AB∥DE，且AB=
∴AB∥FP，且AB=FP， …… 2分

∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． …… 3分

又∵AF平面BCE，BP平面BCE， ∴AF∥平面BCE …… 4分

（Ⅱ）∵
，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD ……5分

∵AB⊥平面ACD，DE//AB ∴DE⊥平面ACD ……6分

又AF平面ACD ∴DE⊥AF ……7分

又AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面CDE ……8分

又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE 又∵BP平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE 9分

(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

， …… 10分

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高 ……11分

…… 12分

20.解：（1）由题设知

由于
，则有
， ……1分

所以点的坐标为
…… 2分

故
所在直线方程为
……3分

所以坐标原点
到直线
的距离为
……4分

又
，所以
解得：
……5分

所求椭圆的方程为
…… 6分

（2）由题意可知直线
的斜率存在，设直线斜率为
直线
的方程为
，则有
设
，由于
、N、
三点共线，且
… … 8分

根据题意得
, ……9分

解得
或
……11分

又
在椭圆
上，故
或
……12分

解得
,综上，直线
的斜率为
或
. …… 13分

21. 解：（1）由题设，当
时，
，则
，…… 1分

∴当
在
上单调递减，

当
，
在（
）上单调递增，…… 2分

∴
时，
取得极小值

∴
的极小值为2. …… 3分

（Ⅱ）由题设

令
，得
…… 4分

设

则
…… 5分

当
时，
在
上单调递增；

当
时，
在
上单调递减。…… 6分

∴
是
的唯一极值点，且是极大直点，因此
也是
的最大值点，

∴
的最大值为
…… 7分

又
，结合
的图