白鹭洲中学2014-2015学年上学期高三第二次月考数学试卷（文科）

命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：（本大题共有10小题，每小题5分，共50分）

1.复数
的共轭复数是( )

A.
B. C.
D.

2.已知集合
，若
，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

3.已知
是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）

A.若
，则
B.若
，则

C.若
，则
D.若
，则

4.在
则
的值为( )

A. 5 B. -5 C. 69 D. 79

5.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么

这四条线段所在的直线是异面直线的有（ ）

A. 1对 B. 2对

C. 3对 D. 4对

6.已知等差数列
的前项和为
，

且
，若数列
为递增数列，则实数
的取值范围为 ( )

A．
B．
C．
D．

7.下列命题正确的个数是

①命题“
”的否定是“
”；

② “函数
的最小正周期为”是“
”的必要不充分条件；

③
在
上恒成立
在
上恒成立；

④“平面向量
与
的夹角是钝角”的充分必要条件是“
”.

A.0 B.1 C.2 D.3

8.设等差数列
的前项和为
，且满足
，则
，
，…，
中最大的项为( ) A.
B.
C.
D.

9.如果对定义在上的函数
，对任意两个不相等的实数
，

都有
，则称函数
为“
函数”.

给出下列函数：①
; ②
; ③
;

④
. 以上函数是“
函数”的共有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10.设
是双曲线
的两个焦点,是
上一点,

若
且
的最小内角为
,则
的离心率为( ) ．

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.已知
，则
的值为 ．

12.设等比数列
的前和为
，已知
的值是________.

13.某四面体的三视图如图所示，

该四面体四个面的面积中最大的是________.

14.已知x，y满足约束条件
，则
的最小值为______________．

15.给出如下五个结论:

①存在
,使
;

②存在区间
,使
为减函数而
;

③
在其定义域内为增函数;

④
既有最大值和最小值,又是偶函数;

⑤
的最小正周期为.

其中正确结论的序号是_____________.

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

16.已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点
．

(1)求
的值；

(2)若函数
，

求函数
在区间
上的值域．

17. 如图所示，程序框图的输出的各数组成数列
.

（1）求
的通项公式及前项和
；

（2）已知
是等差数列，且
，
，求数列
前项和
.

18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD，底面ABCD为矩形，

E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．

（1）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；

（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．

19.已知数列
满足：
，令
，

为数列
的前项和。

（1）求
和
；

（2）对任意的正整数，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

20.设函数
（
），其中
．

（1）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）当
时，求函数
的极大值和极小值；

（3）当
时，在区间
上是否有实数
使不等式

对任意的
恒成立，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由．

21.已知椭圆
：
经过点
，椭圆
的离心率
．

（1）求椭圆
的方程；

（2）
的三个顶点都在椭圆上，且
的重心是原点，

证明：
的面积是定值．

白鹭洲中学高三年级第二次月考数学试卷 （文科）答案

1-5. A D C B C 6-10.A C D B D

11.
12. 0 13. 10 14. -12.5 15. ④

5. 试题分析：如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的

直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得，AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是

异面直线的有：AB和 CD，AB 和 HG，EF 和 HC，共三对，故选 C．

8. 试题分析：由S15＝
＝15a8>0，得a8>0.

由S16＝
＝
<0，得a9＋a8<0，

所以a9<0，所以d<0.所以数列{an}为递减的数列．

所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S8>S7>…>S1>0.

S9>S10>…>S15>0又a1>a2>…>a8>0>a9>a10>…>a15，所以最大的项为
，

9. 试题分析：∵对于任意给定的不等实数
，

不等式
恒成立，

∴不等式等价为
恒成立，即函数
是定义在上的

增函数．

①
；
，则函数在定义域上不单调．

②
；
，

函数单调递增满足条件．

③
为增函数，满足条件．

④
．当
时，函数单调递增，当
时，函数单调递减，不满足条件.

13. 试题分析：由三视图知，该四面体ABCD的底面ABC是AB=4，BC=3，∠ABC为直角的直角三角形，AD⊥面ABC，且AD=4，所以AC=5，BD=
，易证BD⊥BC，△ABC，△ABD，△DAC，△DBC的面积分别为6,8,10，
，故四个面的面积中的最大的是10.

15. 试题分析：①中α∈(0,
)时,如图,由三角函数线知OM+MP>1,

得sinα+cosα>1,故①错.

②由y=cosx的减区间为(2kπ,2kπ+π)(k∈Z),故sinx>0,因而②错.

③正切函数的单调区间是(kπ-
,kπ+
),k∈Z.故y=tanx在定义域内不单调,故③错.

④y=cos2x+sin(
-x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+
)2-
.

ymax=2,ymin=-
.故函数既有最大值和最小值,又是偶函数,故④正确.

⑤结合图象可知y=sin|2x+
|不是周期函数,故⑤错.

16. 解： (1)∵角α的终边经过点P(－3，)，

∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－， ………… 4分

∴sin 2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－; ………… 6分

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cos x，x∈R，………… 7分

∴y＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1. ………… 9分

∵0≤x≤，∴0≤2x≤， ∴－≤2x－≤， ………… 10分

∴－≤sin≤1， ∴－2≤2sin－1≤1.

故函数y＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2，1]．…………12分

17. 解：（1）由程序框图知
，
是
的等比数列, ………… 4分

；……………………6分

（2）
……………8分

…………9分

由错位相减法可得：
…………12分

18. 解：（1）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形， E为PD上一点，

AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．

设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，

而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．…………6分

（2）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，

故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE．

三棱锥P﹣ACE的体积VP﹣ACE=VC﹣PAE=
S△PAE?CD=
?（
?S△PAD）?AB

=
（
?
?PA?PD）?AB =
?PA?PD?AB=
?1?2?1=
． ……………… 12分

19.试题解析：（1）当
时，
； ……………… 1 分

当
时，
，……………… 2分

则
，即
， 综上，
，
；……………… 4分

， ………………5分

则
． ……………… 7分

（2）由
得
， 所以
， ……………… 9分

因为
是单调递增数列，所以当
时
取得最小值为
， ……………… 11分

因此
．……………… 12分

20. 解：（I）当
时，
，得
，

且