白鹭洲中学2015届高三年级第二次月考数学试题理科数学

命题：高三数学备课组

一、本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 已知集合
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.若“
”是“
”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是 （　　）

A．
B．
C．
D．

3．已知命题：存在
，使得
；命题：对任意
，都有
，

则（ ）

A．命题“或”是假命题 B．命题“且”是真命题

C．命题“非”是假命题 D．命题“且‘非’”是真命题

4．已知为第二象限角，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 已知数列
对任意的、
，满足
，且
，那么
等于

（ ）．

A.3 　　　　 B.5 　　 C.7 D.9

6.已知向量
的夹角为
，且
,
，在ABC中，
，D为BC边的中点，则
（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

7. 函数
，则
的值为 ( )

A.
B.
C.
D.

8．定义在
上的单调递减函数
，若
的导函数存在且满足
，则下列不等式成立的是（ ）

A．
B．
C．
D．

9．若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有4个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )

A. B.∪

C. D.∪

10.已知
是定义在上且周期为
的函数,当
时，
.若函数
在区间
上有
个零点(互不相同)，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

二、空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷中相应的横线上.）

11. 当x＞1时，不等式x+
≥a恒成立，则实数a的最大值为_____________.

12．若、满足不等式组
的，求
的取值范围是____________．

13.如图，
是双曲线
与椭圆
的公共焦点，点是
在第一象限的公共点．若
，则
的离心率是________．

14. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝__ _，若an＝92，则n＝__ __.

15.若关于的不等式
恰好有三个整数解，则实数的取值范围是 .

三、解答题：本大题共6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
．设
时
取到最大值．

（1）求
的最大值及的值；

（2）在
中，角
所对的边分别为
，
，且
，试判断三角形的形状．

17．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量
，又点
,
,

．

（１）若
，且
，求向量
．

（２）若向量
与向量
共线，常数
，当
取最大值4时，

求
．

18．（本小题满分12分）

已知数列
的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足
，记

求数列
的通项公式；

（2）设数列
的前
项和为
．求不超过
的最大整数．

19. （本小题满分12分）

已知函数
（
）在区间
上有最大值和最小值．设
．

（I）求、
的值；

（II）若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围.

20．（本小题满分13分）

已知数列
满足：
，数列
满足：
，
，数列
的前项和为
.

（Ⅰ）求证：数列
为等比数列；

（II）求证：数列
为递增数列；

（Ⅲ）若当且仅当
时，
取得最小值，求
的取值范围．

21．(本题满分14分)

已知函数f(x)＝ex－ax2－2x－1(x∈R)．

(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；

(2)求证：对任意实数a<0，有f(x)>.

白鹭洲中学2015届高三年级第二次月考数学理科答案

一、选择题 BADCB DAABC

二、填空题

11. 3 12.
13.
14. 35； 8 15.
.

三、解答题

16.解：（1）依题

又
，则
，故当

即
时，
6分

（2）由（1）知
，由
即
，

又
，

则
即
，

故

又
所以三角形为等边三角形. 12分

17.解：(1)
,
,

又
，
得
,

所以
或

或

5分

（2）
，因为向量
与向量
共线，

7分

①

时，
取最大值为
，

由
=4，得
，此时
，


9分

②
,
时，
取最大值为
，

由
=4，得
，（舍去）
11分

综上所述，

12分

18. 解：（1）设奇数项构成等差数列的公差为
，偶数项构成正项等比数列的公比为

由
可得
，由
得
所以
，
，

．
6分

（2）由

不超过
的最大整数为2014．
12分

19.【解析】：（1）
，因为
，所以
在区间
上是增函数，

故
，解得
．

（2）由已知可得
，所以
可化为
，

化为
，令
，则
，因
，故
，

记

，因为
，故
， 所以
的取值范围是
．

20. 解：（Ⅰ）
．

是等差数列．

又

………………3分

．

又

为首项，以
为公比的等比数列．………………6分

（Ⅱ）
．

．

当
．

又
，
．

是单调递增数列． ………………10分

（Ⅲ）
时，
．

， 即
，

．………………13分

21【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝ex－2x－1(x∈R)，

∵f′(x)＝ex－2，且f′(x)的零点为x＝ln 2，

∴当x∈(－∞，ln 2)时，f′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，f′(x)>0

即(－∞，ln 2)是f(x)的单调减区间，(ln 2，＋∞)是f(x)的单调增区间．(5分)

(2)由f(x)＝ex－ax2－2x－1(x∈R)得：f′(x)＝ex－2ax－2，

记g(x)＝ex－2ax－2(x∈R)．

∵a<0，∴g′(x)＝ex－2a>0，即f′(x)＝g(x)是R上的单调增函数，

又f′(0)＝－1<0，f′(1)＝e－2a－2>0，

故R上存在惟一的x0∈(0，1)，使得f′(x0)＝0，(8分)

且当xx0时，f′(x)>0.

即f(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

则f(x)min＝f(x0)＝ex0－ax－2x0－1，再由f′(x0)＝0得ex0＝2ax0＋2，将其代入前式可得f(x)min＝

－ax＋2(a－1)x0＋1(10分)

又令φ(x0)＝－ax＋2(a－1)x0＋1＝－a＋＋1

由于－a>0，对称轴x＝>1，而x0∈，∴φ(x0)>φ(1)＝a－1

又(a－1)－＝－>0，∴φ(x0)>

故对任意实数a<0，都有f(x)>.(14分)