第Ⅰ卷 （选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）

1．已知复数
，则它的共轭复数等于(　　)

A．
　　　　　　　 B．
2＋i

C．
D．

2.若
，则“
”是“
”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

3.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)

A．4种 B．10种 C．18种 D．20种

4，函数
的零点所在的大致区间是(　　)

A．
B．
C．
D．

5.
展开式的第三项为10，则关于的函数图象的大致形状为(　　)

6.若函数
在其定义域内的一个子区间
内不是单调函数，则实数
的取值范围是(　　)

A．
B．
C．
D．

7．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为
，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.将正方体
的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5种不同的颜色，并且涂好了过顶点A的3个面的颜色，那么其余的3个面的涂色方案共有（ ）种．

A．13 B．14 C．15 D．36

9.若

，则
等于(　　)

A．－10 B．－5 C．5 D．10

10. 若函数
在区间
上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

11．定义在上的函数
对任意
，
，若函数
为奇函数，则不等式
的解集为(　　)

A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)

C．(－∞，0) D．(－∞，1)

12．定义在上的函数
满足
，
为
的导函数，已知函数
的图象如图所示．若两正数
满足
，则
的取值范围是(　　)

A. B.∪(3，＋∞)

C. D．(－∞，－3)

第Ⅰ卷 （选择题，共80分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．满足条件
及
的复数是__________________

14.
________.

15.为落实素质教育，某市一所高中拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A和一般课题B至少有一个被选中的不同选法种数是
k，那么二项式
的展开式中
系数为__________．

16.我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值________．

三、解答题（本大题共6小题，共60分。应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17. （本题满分12分）设命题
函数
的定义域为；命题
不等式
对一切正实数均成立。如果命题或为真命题，命题且为假命题，求实数的取值范围。

18. （本题满分12分）已知二次函数
，满足
，且关于的方程
的两个实根分别在
，
内。

（1）求实数
的取值范围；

（2）若
在区间
上具有单调性，求实数的取值范围。

19. （本题满分12分）在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在A处的命中率
为0.25，在B处的命中率为
.该同学选

求
的值；

求随机变量
的数学期量
；

试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

20. （本小题满分12分）已知函数
，

（1）若过曲线
上任意相异两点的斜率都大于0，求实数的最小值；

（2）若
，且对任意
，都有不等式
成立，求实数的取值范围。

21.（本小题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）若
与
在
处相切，试求
的表达式；

（Ⅱ）若
在
上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ)证明不等式：


.

（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。）

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形
边长为2，以为圆心、
为半径的圆弧与以
为直径的半圆交于点，连结
并延长交
于点.

（1）求证：
；

（2）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

已知曲线
的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
，曲线
、
相交于、两点. （p∈R）

（Ⅰ）求、两点的极坐标；

（Ⅱ）曲线
与直线
（为参数）分别相交于
两点，求线段
的长度.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
，
。

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）设
，且当
时，
恒成立，求的取值范围。

数学理科答案

或

所以命题为真等价于

命题为真等价于
对一切正实数均成立。

由于
，所以
，所以
，所以

所以命题为真等价于
。

因为命题或为真命题，命题且为假命题，所以、一真一假。

若为真命题，为假命题，无解；

若为假命题，为真命题，则
。

所以的取值范围是

18.解：（1）由题知，
，所以

记

根据题意，得
解得

（2）令
，因为
，所以
在
上是减函数。

因为
，函数
的对称轴是直线

所以
在
上单调递增，从而函数
在
上为减函数，且
在
上恒有
，只需要
，所以
，解得
。

（2）当
=2时, P1=

=0.75 q
(
)×2=1.5 q
(
)=0.24

当
=3时, P2 =
=0.01,

当
=4时, P3=
=0.48,

当
=5时, P4=

=0.24

所以随机变量
的分布列为

0

2

 3

 4

 5



 p

0.03

 0.24

 0.01

0.48

0.24



随机变量
的数学期望

（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

20．解：

（1）因为过曲线
上任意相异两点的斜率都大于0，所以任取
，且
,由
，得
，

所以函数
在上单调递增。

所以
恒成立，即
，所以
。

（2）因为
，所以函数

因为
，所以

对任意
，令
，

则

①当
即
时，

所以
在
上为单调增函数，

所以
，符合题意，所以
。

②当
即
时，令

于是

因为
，所以
，所以

所以
在
上为单调增函数，

所以
，即

所以

当
，即
时，

所以
在
上为单调增函数，

所以
，符合题意，所以
。

当
，即
时，存在
，使得当
时，有

此时
在
上为单调减函数，

从而
，不能使
恒成立

综上所述，实数的取值范围是
。

21. 解：（Ⅰ）由已知 且

得：
------------------2分

又


----------------3分

（Ⅱ）

在
上是减函数，

在
上恒成立. ------------------5分

即
在
上恒成立，由
，

得
------------------6分

（Ⅲ)由（Ⅰ）可得：当
时：

得：

------------------8分

当
时：
当
时：
当
时：

…… 当
时：
，

上述不等式相加得：