建陵中学2013—2014学年度上学期高三年级第一次质量检测数学试题

注意事项：

1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．

2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．

参考公式：

样本数据x1，x2，…，xn的方差
，其中
．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

1．已知集合
，
，则
___▲___.

2．已知
，
，则
▲ ．

3．设复数满足
（为虚数单位），则
=___▲___.

4．已知
，
，若
，则正数的值等于 ▲ ．

5．样本数据18，16，15，16，20的方差
＝___▲___.

6．已知双曲线
的离心率为2，则m的值为 ___▲___．

7．根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为___▲___.

8．已知函数
,其中
是取自集合
的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为___▲___．

9．已知实数x，y满足不等式组
，则
的最大值是 ▲ ．

10．已知函数
，则满足
的x的取值范围是___▲___．

11．如图，在直四棱柱
中，点
分别在
上，且
，
，点
到
的距离之比为3：2，则三棱锥
和
的体积比
= __▲__.

12．已知是直线
：
上一动点，
，
是圆
：
的两条切线，切点分别为，．若四边形
的最小面积为，则
= ▲ ．

13．设函数
，函数
的零点个数为　 ▲ 　．

14．已知各项均为正数的等比数列
，若
，则
的最小值为___▲___.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内．

15．（本小题满分14分）

在△
中，
分别是角，，
所对的边，且
，
，
．

（1）求边的值； （2）求
的值．

16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥
的底面为矩形，
，
，
分别是
的中点，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
．

17．（本小题满分14分）

已知数列
满足：
数列
满足：

（1）若数列
是等差数列，且
，求的值及数列
通项公式；

（2）若数列
的等比数列，求数列
的前项和
．

18．（本小题满分16分）

已知向量
，
，且
，

求：（1）
及
； （2）若
的最小值是
，求
的值.

19．（本小题满分16分）

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线
排，在路南侧沿直线
排，现要在矩形区域
内沿直线将
与
接通．已知
，
，公路两侧排管费用为每米万元，穿过公路的
部分的排管费用为每米2万元，设
与
所成的小于
的角为．

（Ⅰ）求矩形区域
内的排管费用W关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

20．（本小题满分16分）

已知函数
．

（1）若函数
在
上是增函数，求实数的取值范围；

（2）若函数
在
上的最小值为3，求实数的值．

数学 （ 附加题） 2013.10

注意事项：

1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．

2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．

21．【选做题】解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．选修4—2：矩阵与变换

（本小题满分10分）

已知矩阵A =
，B =
，求矩阵
．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程为
，曲线
的极坐标方程为
．试求曲线C和
的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记
为选取女生的人数，求
的分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）

如图（1），等腰直角三角形
的底边
，点在线段
上，
⊥

于，现将
沿
折起到
的位置（如图（2））．

（Ⅰ）求证：
⊥
；

（Ⅱ）若
⊥
，直线
与平面
所成的角为
，求
长．

一卷数学参考答案及评分标准 2013.10

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．
2．
3．
4．
5．3.2 6．3 7．9 8．

9．
10．
11．
12．2 13．2 14．54

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. （本小题满分14分）

解：（1）根据正弦定理，
，所以
……………… 5分

（2）根据余弦定理，得
……………………… 7分

于是
……………………… 8分

从而
……… 10分，
……12分

所以
…………………… 14分

16．（本小题满分14分）

证明：（Ⅰ）取
中点G，连
，

因为、分别为
、
的中点，

所以
∥
，且
．

……… 2分

又因为为
中点，所以
∥
，且
．…… 3分

所以
∥
，
．故四边形
为平行四边形． … 5分

所以
∥
，又
平面
，
平面
，

故
∥平面
． ……… 7分

（Ⅱ）设
，由
∽
及为
中点得
，

又因为
，
，所以
，
．

所以
，又
为公共角，所以
∽
．

所以
，即
． ……… 10分

又
，

，

所以
平面
． ……… 12分

又
平面
，所以平面
平面
． …… 14分

17．解 （1）因为
是等差数列，
，
…………2分

，解得
或
（舍去），…………5分

．……………7分

（2）因为
是等比数列，
，
，
．…………9分

当
时，
，
；…………11分

当
时，
．………………………14分

18. （本小题满分16分）

解：(1)
…………………………2分

……… 6分

………………………………8分

⑵
………………… 10分

①当
时，当且仅当
时，
取得最小值－1，这与已知矛盾；11分

②当
时，
取得最小值
，由已知得
；13分

③当
时，
取得最小值
，由已知得

解得
，这与
相矛盾，15分综上所述，
为所求.………… 16分

注意：没分类讨论扣2分

19．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）如图，过E作
，垂足为M，由题意得
，

故有
，
，
．………………… 4分

所以
… 5分

． ………… 8分

（Ⅱ）设
（其中
，

则
．………… 10分

令
得
，即
，得
． ………… 11分

列表











+

0

-





单调递增

极大值

单调递减



所以当
时有
，此时有
．……… 15分

答：排管的最小费用为
万元，相应的角
． ……… 16分

20．

（本小题满分16分）

解：（1）∵
，∴
．……………………1分

∵
在
上是增函数，

∴
≥0在
上恒成立，即≤
在
上恒成立．………………… 4分

令
，则≤
．

∵
在
上是增函数，∴
．

∴
．所以实数的取值范围为
． …………………7分

（2）由（1）得
，
．

①若
，则
，即
在
上恒成立，此时
在
上是增函数．

所以
，解得
（舍去）． ………………10分

②若
，令
，得
．当
时，
，所以
在
上是减函数，当
时，
，所以
在
上是增函数．

所以
，解得
（舍去）．……………13分

③若
，则
，即
在
上恒成立，此时
在
上是减函数．

所以
，所以
．

综上所述，
． …………………16分

附加题

21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B．选修4—2：矩阵与变换

解：设矩阵A的逆矩阵为
，则

=
， ………………… 1分

即
=
， …………… 4分

故
，从而A的逆矩阵为
=
． ……… 7分

所以
=

=
． …… 10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

解：由
得曲线C的直角坐标方程为
． …………… 2分

由
得曲线
的直角坐标方程为
． …… 5分

曲线C表示以
为圆心，5为半径的圆；曲线
表示以
为圆心，2为半径的圆．

因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………… 8分

所以圆C和圆
的位置关系是内含． ……………10分

…………… 10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

依题意，X所有取值0，1，2．

P（X=0）=
，P（X=1）=
=
，P（X=2）=
=
．

X的分布列为：

X

0

1

2



P









EX=
．

23．.（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，

∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，

又∵PB?平面PEB，∴BP⊥DE；

（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，

∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），

设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），

P（0，0，a），…（7分）

可得
，
，

设面PBC的法向量
，

∴
令y=1，可得x=1，z=

因此
是面PBC的一个法向量，

∵
，PD与平面PBC所成角为30°，

∴
，即
，

解之得：a=
，或a=4（舍），因此可得PE的长为
．