宝应中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷 2014.10

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1.已知集合
,
，
，则
=

2.若
（其中
表示复数
的共轭复数），则复数
的模为

3.运行如图语句，则输出的结果
．

4.已知向量
，
，则
＝__________；

5.若直线
与直线
平行则实数
=________.

6. 若命题“
使得
”为假命题，则实数
的取值范围为

7. 若
，则直线
与
轴、
轴围成的三角形的面积小于

的概率为

8. 要得到函数
的图象，需将函数
的图象向左至少平移 个单位。

9. 直线
与椭圆

的一个焦点和一个顶点的连线垂直，

则该椭圆的离心率为________

10.已知函数
在
处的切线与直线
平行，

且此切线也是圆
的切线，则
=

11.已知函数
若函数
在
上存在唯一的极值点．则实数
的取值范围为 　　　　　　

12. 设函数
的图像与
轴交于点
，过点
的直线
与函数
的图像交于另外两点
.
是坐标原点，则
=

13. 已知函数
,且
在[－1,0]上为单调减函数，

则实数
的取值范围为

14.已知椭圆
和圆
都过点
，且椭圆
的离心率为
，过点
作斜率为
的直线分别交椭圆
，圆
于点
（如图），
，若直线
恒过定点
，则
= ；

二、解答题：（本大题共6小题，共90分．）

15.(本小题满分14分) 如图，在
中，
，
为
中点，
，记锐角
．且满足
．

(1)求
；

(2)求
边上的高
的值．

16. (本小题满分14分)已知圆
的一般方程为：

（1）过点
作圆
的切线，求切线方程；

（2）直线
在
轴上的截距相等，且
与圆
交于
两点，弦长
=
,求直线
的方程。

17. (本小题满分14分)设命题p：函数
的定义域为R，

命题q：不等式
对一切的正实数均成立.

如果命题“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数
的取值范围.

18.(本小题满分16分)为丰富农村业余文化生活，决定在
三个村子的中间地带建造文化中心。通过测量，发现三个村子分别位于矩形
的两个顶点
和以边
的中心
为圆心,以
长为半径的圆弧的中心
处，且
。经协商，文化服务中心拟建在与
等距离的
处，并建造三条道路
与各村通达。若道路建设成本
段为每公里
万元，
段为每公里
万元，建设总费用为
万元。

（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离
村的距离；

（2）若建设总费用最少，求该文化中心离
村的距离。

19. (本小题满分16分)已知
，点
依次满足
。

（1）求点
的轨迹；

（2）过点
作直线
交以
为焦点的椭圆于
两点，线段
的中点到
轴的距离为
，且直线
与点
的轨迹相切，求该椭圆的方程；

（3）在（2）的条件下，设点
的坐标为
，是否存在椭圆上的点
和以
为圆心的一个圆，使得该圆与直线
都相切，如存在，求出
点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由。

20. (本小题满分16分)已知函数
．

（1）求函数
的零点的个数；

（2）令
，若函数
在(0，
)内有极值，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，对任意
，求证：

江苏省宝应中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷答案

一、填空题：

1. 4 2.. 3 3．625 4．14 5．
6．
7．
8．

9．
10．
11．
12．32 13．
14．2

13.解：判别式
，

① 当
时，即
时，函数
≤0恒成立，

所以
，

对称轴方程为
，

所以当
时符合题意（如图1），此时
； ② 当
时，即
时，方程
的两个实根为
，

不妨设
，由题意及图象得
或

即
（如图2）

或
（如图3）

解得
，此时
，

综上得m的取值范围是
．

14.解：

设
、
、
、
，

由
得：
，

，则点
的坐标为：

由
得：
，

，则点
的坐标为：

同理可得：
，

B、C、Q三点共线，

二、解答题：

15.解（1）∵
，∴
，∵
，

∴
，
，…………………………3分

，∴

．

……………………………………………………7分

（2）由（1）得，∴
，

……………………………………………………9分

在
中，由正弦定理得：
，
，

则高
．…………………………14分

16.解：（1）当斜率
不存在时，
.圆
的一般方程为：

化成标准方程为：
.因为
与圆
相切，所以圆心（1，-1）到

的距离为
，
=
=
，所以符合题意。…………………………2分

当斜率
存在时，设直线的方程为：
，化成一般式为
，

圆心
到直线
的距离为
，

则
=
，
，
=
………………………5分

解得，
.

所以直线
的方程为：
………………………………………………6分

综上得：直线
的方程为：
或
……………………………7分

（2）当直线过原点时，设直线的方程为：
，化成一般式为：
.

弦长
=
,所以圆心
到
的距离
，则

解得
，所以直线方程为：
（舍去）…………………………10分

当直线不过原点时，设直线的方程为：
，化成一般式为：

所以，
，解得：
，所以直线方程为：

综上得：直线
的方程为：
…………………………14分

17.解：当命题
为真命题时，
对任意的实数
恒成立，

所以
且
，解得：
.…………………………3分

当命题
为真命题时，不等式
对一切的正实数
均成立，

令
=
（
），则
，所以
，移项得
，

两边同时约去
，所以
，所以
，

因为
在
上单调递减，所以
.…………………………9分

由于命题
为真命题，命题
为假命题，所以命题
与命题
一真一假.分两种情况，

情况一：
真
假 ，所以
且
，这样的
不存在; …………………………11分

情况二：
假
真，所以
且
，所以
，…………………………13分

综上一二得：
.……………………………………………………14分

18.解：（1）不妨设
,依题意，
，且
由
…………………………3分

若三条道路建设的费用相同，则

所以
所以
。……………………5分

由二倍角的正切公式得，

即
…………………………6分

答：该文化中心离N村的距离为
…………………………8分

（2）总费用

即
…………………………10分

令

…………………………12分

当

所以当
有最小值，

这时，
…………………………14分

答：该文化中心离N村的距离为
…………………………16分

19．解析：(1) 设

所以，点
的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆。 ………………………………… 4分

(2)设直线
的方程为
①

椭圆的方程
②

由
与圆相切得：
………………………………………6分

将①代入②得：
，

又
，可得
，

有
，∴
，
.

∴
…………………………………………………9分

(3) 假设存在椭圆上的一点
，使得直线
与以Q为圆心的圆相切，

则Q到直线
的距离相等,

：

：

………………………………12分

化简整理得：

∵ 点在椭圆上，∴

解得：
或
（舍）

时，
，
，…………………………………………14分

∴ 椭圆上存在点
，其坐标为
或
，使得直线
与以Q为圆心的圆
相切 ……………………………………16

20.(1)
. …………………1分