淄博市六中2015届高三上学期第二次诊断性检测

数学（理）试题

时间：120分钟

选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.

1．已知集合
,则
等于 （　 　）

A．
B．
C．
D．

2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (　 　)

A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

3．（周练变式）设函数
，则满足
的x的取值范围是( )

A．
，2] B．[0，2] C．[1，+
) D．[0，+
)

4．若函数
，则下列结论正确的是 （ ）

A．
，
在
上是增函数 B．
，
在
上是减函数

C．
，
是偶函数 D．
，
是奇函数

5. 设0＜x＜ ，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的 （ ）

A.充分不必要条件 B．必要不充分条件

C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6. 设函数
若
，
，则关于x的方程

的解的个数为 （ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 已知幂函数f(x)的图象经过点(，)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1

>
； ②
<
； ③
>
； ④
<
.

A．①③ B．①② C．②④ D．②③

8．（周练变式）函数
的图像可能是 （ ）

9. 函数
的图像如图所示,在区间
上可找到
个不同的

数
使得
则
的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

10. 定义在R上的函数
，如果存在函数
(k,b为常数），使得
对一切实数x都成立，则称
为函数
的一个承托函数．现有如下命题：

①对给定的函数
，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．

②函数
为函数
的一个承托函数．

③定义域和值域都是R的函数
不存在承托函数．

其中正确命题的序号是： ( )

A．①　　　　 　B．②　　　　 　C．①③　　 　　D．②③

二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分.

11．已知函数
，则
零点的个数是__________.

12．已知函数
R）的图象如图所示，它与x轴

在原点处相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的

面积为
，则
=_____________.

13. 已知定义在R上的函数
的图象关于点
对称，且满足
，又
，
，则
_______________．

14. 已知函数
的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为
的保值区间．若
的保值区间是
，则
的值为_______________．

15. 设S为复数集C的非空子集.若对任意
，都有
，则称S为封闭集。下列命题：

①集合S＝{a＋bi|（
为整数，
为虚数单位）}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有
；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足
的任意集合
也是封闭集.

其中真命题是 . （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题6个小题，共75分.

16. （周练变式） (本小题满分12分)

已知命题p：函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增；命题q：函数

的值域为
．如果命题p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．

17. （周练变式）（本小题满分12分）

在三角形ABC中，角A、B、C及其对边a，b，c满足：
.

（1）求角C的大小；（2）求函数
的值域.

18．（本小题满分12分）

如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
平面ABCD，
平面ABCD，且MD =2，NB=1，MB与ND交于P点．

（1）在棱AB上找一点Q，使QP // 平面AMD ，并给出证明；

（2）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值．

19．(本小题满分12分)

已知指数函数
满足：
，定义域为
的函数
是奇函数.

（1）确定
的解析式；

（2）求
的值；

（3）若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

20．(本小题满分13分)

某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求证:函数
在区间
上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应
的近似值（误差不超过
）；（参考数据
，
，
）

（2）当
时，若关于
的不等式
恒成立，试求实数
的取值范围.

淄博六中2012级高三上学期第二次诊断考试数学（理）答案

命题：刘目勇 时间：120分钟

选择题： 1-5 BDDCB 6-10 CABDA

填空题： 11. 2; 12.
; 13.1; 14.
; 15.①②

解答题：

16.解：命题p为真命题得：
，---------------------------3分

命题q为真命题：（1）若
，经检验
符合条件---------5分

（2）若
，则
解得
综（1）（2）得
---8分

根据题意知，命题p、q有且只有一个为真命题，

当p真q假时实数a的取值范围是
；

当p假q真时，实数a的取值范围是
.-------10分

综上：

-------12分

17、（1）由条件得：

18．（Ⅰ）当
时，有
//平面AMD.

证明：∵MD
平面ABCD，NB
平面ABCD，∴MD//NB，…………2分

∴
，又
，∴
，…………4分

∴在
中，QP//AM，

又
面AMD，AM
面AMD，∴
// 面AMD.…………６分

（Ⅱ）解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），

∴
=（0,-2,2），
=（2,0,1），
=（0,2,0），………………7分

设平面CMN的法向量为
=（x,y,z）则
，∴
，

∴
=（1,-2,-2）.

又NB
平面ABCD，∴NB
DC，BC
DC，∴DC
平面BNC，

∴平面BNC的法向量为
=
=（0,2,0），………………11分

设所求锐二面角为
，则
.………………12分

19．解：（1） 设

,则
，
a=2,

，　　……　3分

（2）由（1）知：
，因为
是奇函数，所以
=0，即

∴
， 又
，
； ……………6分

（3）由（2）知
，

易知
在R上为减函数. 　　　…………… 8分

又因
是奇函数，从而不等式：

等价于
=
，　　　……　10分

因
为减函数，由上式得：
, 即对一切
有：
，

从而判别式
…………12分

20．解　(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m， 即n＝－1(0

所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x

＝256＋(2＋)x

＝＋m＋2m-256 (0

(2)由(1)知f′(x)＝－＋
，………………………… -----…7分

令f′(x)＝0，得
＝512，所以x＝64.

当00，

f(x)在区间(64,640)内为增函数，……………………………(10分)

所以f(x)在x＝64处取得最小值，

此时，n＝－1＝－1＝9.

故需新建9个桥墩才能使y最小．……………------------------13分

21．解：（Ⅰ）
， ……………………………………………………1分

∵
，
，

∴
． ……………………………………………………………2分

令
，则
， ……………………3分

∴
在区间
上单调递增，

∴
在区间
上存在唯一零点，

∴
在区间
上存在唯一的极小值点． …………………………………4分

取区间
作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

，而
，∴ 极值点所在区间是
；

又
，∴ 极值点所在区间是
；

③ ∵
，∴ 区间
内任意一点即为所求． ……7分

（Ⅱ）由
，得
，

即
，

∵
， ∴
， ……………………………………8分

令
， 则
． ………………10分

令
，则
．

∵
，∴
，∴
在
上单调递增，

∴
，

因此
，故
在
上单调递增， ……………………………12分

则
，

∴
的取值范围是
． …………………………………………14分