邯郸市2015届高三年级摸底考试

理科数学

一．选择题

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2.复数
（
为虚数单位）在复平面内所对应的点在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于A、660 B、720 C、780 D、800

4.设
，
，
，则下列关系中正确的是

A．
B．
C．
D．

5.设
是公差为正数的等差数列，若
，
，则
A、75 B、90 C、105 D、120

6.阅读程序框图，运行相应程序，则输出
的值为

A．3 B．4 C．5 D．6

7. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1 cm，粗实线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

A. 2 cm3 B. 4 cm3 C. 6 cm3 D.8 cm3

8.函数
在
上的图象大致为

A B C D

9. 设
，其中
满足
，若
的最大值为6，则
的最小值为

A．-5 B．-4 C．-3 D．-2

10. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，，此点落在星形内的概率为

A．
B．
C．
D．

11.已知
点在球O的球面上,
,
.球心O到平面
的距离为1，则球O的表面积为

12. 抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上的点，若三角形
的外接圆与抛物线
的准线相切，且该圆的面积为36
，则
的值为

A．2 B．4 C．6 D．8

二．填空题

13. 二项式
展开式中
的系数为___________________．-10

14..某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有10种.

15.在边长为2的等边三角形
中，
是
的中点，
为线段
上一动点，则
的取值范围为

16．如果定义在R上的函数
对任意两个不等的实数
都有

，则称函数
为“
函数”给出函数：
，


。

以上函数为“
函数”的序号为

三．解答题

17. 已知递增等比数列
的前n项和为
，
，且
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
，且
的前
项和
．

求证：

18. （本小题满分12分）在三角形
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，且三角形的面积为
.

(1)求角
的大小

(2)若
，求
的值.

19 ．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱
中，
平面
，其垂足
落在直线
上．

（1）求证：
⊥

（2）若
，
，
为
的中点，求二面角

的平面角的余弦值

20.某商场组织有奖竞猜活动，参与者需要先后回答两道选择题，问题A有三个选项，问题B有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金25元，正确回答问题B可获奖金30元，活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止，假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生,只能用蒙猜的办法答题。

(1)如果参与者先回答问题A，求其获得奖金25元的概率；

(2)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大.

21. 已知椭圆C：
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线
与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切。

（1）求椭圆的方程。

（2）设
为椭圆上一点，若过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
和
,且满足
(O为坐标原点)，求实数
的取值范围

22. 已知函数

（1）若
在区间
单调递增，求实数
的取值范围；

（2）当
时，求函数
在区间
上的最小值.

邯郸市2015届高三摸底考试理科数学答案

一、选择题

1-5CDBAC 6-10 BBDCA 11-12 AD

二、填空题

13.-10 14.10 15.
16.②④

三、解答题

17. 解：（1）设公比为q，由题意：q>1,
，则
，
，∵
，∴
，……………2分

则
解得：
或
（舍去），

∴
……………4分

（Ⅱ）
……………6分

……………8分

又∵
在
上是单调递增的

∴

∴
…………………………10分

18. 解(1)在三角形ABC中
,由已知
可得

0﹤
﹤


-------------5分

(2)

由正弦定理可得



----------12分

19. （Ⅰ）证明：
三棱柱
为直三棱柱，

平面
，又
平面
，

-

平面
，且
平面
，

. 又
平面
,
平面
,
，

平面
，

又
平面
，

-----------------------------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
平面
，
平面
,从而

如图,以B为原点建立空间直角坐标系

平面
，其垂足
落在直线
上,

.

在
中，
，AB=2，

,

在直三棱柱
中，

.

在
中，
,

则
(0,0,0),
,C（2，0，0）,P（1，1，0）,
（0，2，2
）,

（0，2，2
）

设平面
的一个法向量

则
即
可得

设平面
的一个法向量

则
即

可得

二面角
平面角的余弦值是
………12分

（Ⅱ）或
在
中，
，AB=2,则BD=1 可得D(

二面角
平面角的余弦值是
………12分

20. 解：随机猜对问题A的概率
，随机猜对问题B的概率
.

（1）设参与者先回答问题A，且获得奖金25元为事件
,

则
,即参与者先回答问题A，且获得奖金25元概率为

-------------5分

（2）参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：

①先回答问题A再回答问题B，参与者获奖金额
可取0,25,55，

则
,
,

-------------8分

②先回答问题B再回答问题A，参与者获奖金额
可取0，30，55

则
，
,

因为
，所以应该先答问题A,再答问题B。 -------------12分

21. 解：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为
,

∴圆心到直线
的距离

…………*

∵椭圆
的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,
代入*式得b=c=1 ∴

故所求椭圆方程为
………4分

（Ⅱ）由题意知直线
的斜率存在，设直线
方程为
，设

将直线方程代入椭圆方程得：
…………6分

∴

∴

设
,
则
………………8分

当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，
成立，故，t=0符合题意。

当
时

得

∴


……………10分

将上式代入椭圆方程得：

整理得：

由
知

所以t∈（-2，2）……………12分

22. 解:（1）由题知：函数
在上为增函数，故
在
上恒成立

又由
，则
，即
在
上恒成立

又
，故
-------------5分

（2）当
时，
，

当
时，即
时，

当
时，即
或
时，

则
的增区间是
，减区间是
，

由于
，则
-------------8分

当
时，即
时，
在
上单调递减

则

当
时，即
时，
在
上单调递减，在
单调递增。

则

当
时，
在
上单调递增。则

综上可知：当
时，

当
时，

当
时，
-------------12分