辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三上学期期初检测数学（理）试题

一、选择题（每小题5分）

1．已知集合
，
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．设i为虚数单位，则复数
的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．数列
满足an+an+1
=
（n≥1,n
N）,a2=1,Sn是
的前项的和，则S21的值为（ ）

A．
　　　

　　 C．6 D．10

4．下列有关命题的说法正确的是

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”；

B．命题“

”的否定是“
，
，”；

C. 命题“若
，则
”的逆否命题是假命题 ；

D. 已知
，命题“若
是奇数，则
这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题.

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为(　　)

6．从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=

（A）
（B）
（C）
（D）

7．已知
，
，猜想f(x)的表达式为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结 果是
，则判断框内应填入的条件是

A. <4 B. >4 C. <5 D. >5

9．函数f(x)＝
sin2x＋cos2x(　　)

A．在
单调递减 B．在
单调递增

C．在
单调递减 D．在
单调递增

10．一动圆圆心在抛物线
上,且动圆恒与直线
相切,则动圆必过定点

A．
B．
C．
D．

11．设
，若“方程
满足
，且方程至少有一根
”，就称该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为

（A）8　　　 　（B）10　　　　（C）12　　　　（D）14

12．已知函数
的导函数为
，
，且
＞
，设
、
是方程
的两个根，则
的取值范围为（ ）

A．
B.
C.
D.

二、

13. 若
，若
，则

14．在矩形
中，
，
，为
的中点，若为该矩形内（含边界）任意一点，则
的最大值为

15．若
，
，且满足
，
，则 y的最大值是 。

16．已知等差数列
的每一项都有
则数列
的前n项和
=

三、

17．（本小题12分）已知
是
的三个内角，向量

，且
.

（1）求角；

（2）若
，求
.

18. （本小题12分）如图,在长方体
中
为
中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)在棱
上是否存在一点,使得
平面
?若存在,求
的长;若不存在,说明理由.

(Ⅲ)若二面角
的大小为
,求
的长.

19．（本小题12分）某市职教中心组织厨师技能大赛，大赛依次设基本功（初赛）、面点制作（复赛）、热菜烹制（决赛）三个轮次的比赛，已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
，
，
且各轮次通过与否相互独立．

（I）设该选手参赛的轮次为
，求
的分布列和数学期望；

（Ⅱ）对于（I）中的
，设“函数
是偶函数”为事件 D， 求事件D发生的概率．

20. （本小题12分）已知椭圆

的一个焦点是
，且离心率为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆
于
两点，线段
的垂直平分线交轴于点

，求
的取值范围.

21．（本小题12分）已知函数f(x)＝－
x3＋
x2－2x(a∈R)．

(1)当a＝3时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若对于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)＜2(a－1)成立，求实数a的取值范围；

(3)若过点
可作函数y＝f(x)图象的三条不同切线，求实数a的取值范围．

（从22/23/24三道解答题中任选一道作答，作答时，请注明题号；若多做，则按首做题计入总分，满分10分. 请将答题的过程写在答题卷中指定的位置）（本小题满分10分）

22.（本题满分12分）如图,⊙的直径
的延长线与弦
的延长线相交于点,为⊙O上一点,弧AE等于弧AC,
交
于点,且
,求
的长度.

23.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．直线的参数方程是
（为参数），曲线的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于
，两点，求M,N两点间的距离．

24.设函数

⑴若
时，解不等式
；

⑵如果对于任意的
，
，求的取值范围。

参考答案

1．D 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C. 8．C 9．D 10．B 11．C 12．A

13．
14．
15．
16．

17．（1）

（2）

18．解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设
,则

,故

(2)假设在棱上存在一点
,使得
平面
,则

设平面
的法向量为
,则有
,取
,可得
,要使
平面
,只要

,又
平面
,存在点使
平面
,此时
.

(3)连接
,由长方体
,得

,
,由(1)知
,故
平面
.

是平面
的法向量,而
,则

二面角是
,所以,即

19.

试题解析：（I）
可能取值为1，2，3． 2分

记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，

5分

的分布列为：

1

2

3



P










的数学期望
7分

（Ⅱ）当
时，

为偶函数；

当
时，

为奇函数；

当
时，

为偶函数；

∴事件D发生的概率是
. 12分

20. （Ⅰ）解：设椭圆
的半焦距是.依题意，得
. ………………1分

因为椭圆
的离心率为
，

所以
，
. ………………3分

故椭圆
的方程为
. ………………4分

（Ⅱ）解：当
轴时，显然
. ………………5分

当
与轴不垂直时，可设直线
的方程为
.

由
消去整理得
. ………7分

设
，线段
的中点为
，

则
. ………………8分

所以
，
.

线段
的垂直平分线方程为
.

在上述方程中令
，得
. ………………10分

当
时，
；当
时，
.

所以
，或
. ………………12分

综上，
的取值范围是
. ………………13分

21．(1) 单调递增区间为
，单调递减区间为
和
；(2)
；(3)

试题解析：(1)当
时，函数
，

得
．

所以当
时，
，函数f(x)单调递增；

当x＜1或x＞2时，
，函数f(x)单调递减．

所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
和
．3分

(2)由
，得
，

因为对于任意
都有
成立，

所以问题转化为对于任意
都有
． 4分

因为
，其图象开口向下，对称轴为
.

①当
，即
时，
在
上单调递减，

所以
，

由
，得
，此时
. 5分

②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

所以
，

由
，得
，此时
.

综上可得，实数的取值范围为
． 6分

(3)设点
是函数
图象上的切点，

则过点的切线的斜率
，

所以过点P的切线方程为
， 8分

因为点
在该切线上，

所以
，

即
.

若过点
可作函数
图象的三条不同切线，

则方程
有三个不同的实数解． 10分

令
，则函数
的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．

令
，解得
或
.

因为
，
，

所以必须
，即
.

所以实数的取值范围为
． 12分

22. 试题解析：解：连结
,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧
可得
,又
,

,从而
,

故

,∴
,



由割线定理知
,故
. 10分

23.（1）
（2）

【解析】（Ⅰ）由
得，
，两边同乘得，

，再由
，
，
，得

曲线的直角坐标方程是
；-----5分

（Ⅱ）将直线参数方程代入圆方程得，
，

，
，

．-------10分

24．

解：⑴因为函数
，所以
时不等式

即
，由绝对值的几何意义易知解为
。

⑵因为对任意的
都有
，即需对任意的
都有

也就是需要与之间距离
，所以
即可

所以的取值范围是
。