广东省2015届高三数学理一轮复习备考试题：导数及其应用

选择题

1、（2014茂名二模）曲线y= x3－2x2在点（1，-1）处的切线方程为（ ）

A．y= x－2 B．y= -3x+2 C．y=2x－3 D．y=-x

2、（深圳宝安区2015高三9月）已知函数
及其导数
，若存在
，使得

，则称
是
的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）.

A. ①③⑤ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②⑤

3、（惠州市2014届高三第三次调研考）已知函数
则对于任意实数
,则
的值为（ ）

A．恒正 B.恒等于
C．恒负 D. 不确定

4、（汕头市潮师高级中学2014届高三上学期期中）已知函数

是定义在R上的奇函数，且当
时不等式
成立， 若
，则
的大小关系是（ ）

A.
B.
C.
D.

5、（汕头市聿怀中学2014届高三上学期期中考试）已知函数
是定义在实数集R上的奇函数，且当
时
成立（其中
的导函数），若
，
，
则
的大小关系是

A．
B．
C．
D．

6、（汕头四中2014届高三第二次月考）已知函数
，若过点
且与曲线
相切的切线方程为
，则实数
的值是( )

A.
B.
C.6 D.9

7、（珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考）一个物体的运动方程为
，其中
的单位是米，
的单位是秒，那么物体在
秒末的瞬时速度是 （ ）

A．
米/秒 B．
米/秒 C．
米/秒 D．
米/秒

8、设函数
是定义在R上的函数，其中
的导函数
满足
对于
恒成立，则（ ）

A．
B．

C．
D．

二、填空题

9、（2014广东高考）曲线
在点
处的切线方程为

10、（2013广东高考）若曲线
在点
处的切线平行于
轴,则
______.

11、（2012广东高考）曲线
在点
处
的切线方程为___________________.

12、（2011广东高考）函数
在
处取得极小值

13、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）曲线
的切线中,斜率最小的切线方程为___________

14、（珠海市2014届高三上学期期末）曲线
在点
处的切线方程为

三、解答题

15、（2014广东高考）设函数
，其中
，

（1）求函数
的定义域
；（用区间表示）

（2）讨论
在区间
上的单调性；

（3）若
，求
上满足条件
的
的集合.

16、（2013广东高考）设函数
(其中
).

(Ⅰ) 当
时,求函数
的
单调区间；

(Ⅱ) 当
时,求函数
在
上的最大值
.

17、（2012广东高考）设
，集合
，
，
.

（Ⅰ）求集合
（用区间表示）；

（Ⅱ）求函数
在
内的极值点.

18、（珠海2015届高三9月）已知函数

（1）若函数
在

上
有极值点，求实数
的范围．

（2）求证：
时，

19、（2015广东七校第一次联考）

20、（深圳宝安区2015高三9月）已知函数

(1)我们称使
成立的
为函数的零点，证明：当
时，函数
只有一个零点；

（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数
的取值范围.

21、（2015届广州六中高三上第一次质检）已知函数
（
为常数，

（Ⅲ）若对任意的
，总存在
，使不等式
成立，求正实数
的取值范围.

22、（2014揭阳二模）已知函数
（
为常数）．

（1）函数
的图象在点（
）处的切线与函数
的图象相切，求实数
的值；

（2）若
，

、

使得
成立，求满足上述条件的最大整数
；

（3）当
时，若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数
，
，都有

成立，求
的取值范围．

参考答案

1、D　　2、A

3、【解析】【答案】A

解析:,可知函数
所以函数为奇函数,同时，
也是递增函数,注意到
，所以
同号,所以,选A

4、B　　5：A　　6：D　　7：C　　8、C

9、
.　　　10、
　　　11、
.　12、2

13：

14：

15、解：（1）依题意有

故
均有两根记为

注意到
，故不等式
的解集为
，即

（2）令

则

令
，注意到
，故方程
有两个不相等的实数根

记为
，且

注意到
结合图像可知

在区间
上
，
单调递增

在区间
上
，
单调递减

故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.

（3）

在区间
上，令
，即
，即

方程
的判别式
，故此方程
有4个不相等的实数根，记为

注意到
，故，

，故

，故

故

结合
和函数的图像

可得
的解集为

16、【解析】(Ⅰ) 当
时,

,

令
,得
,

当
变化时,
的变化如下表:































极大值



极小值





 右表可知,函数
的递减区间为
,递增区间为
,
.

(Ⅱ)
,

令
,得
,
,

令
,则
,所以
在
上递增,

所以
,从而
,所以

所以当
时,
；当
时,
；

所以

令
,则
,

令
,则

所以
在
上递减,而

所以存在
使得
,且当
时,
,

当
时,
,

所以
在
上单调递增,在
上单调递减.

因为
,
,

所以
在
上恒成立,当且仅当
时取得“
”.

综上,函数
在
上的最大值
.

17、解析：（Ⅰ）考虑不等式
的解.

因为
，且
，所以可分以下三种情况：

①当
时，
，此时

，
.

②当
时，
，此时
，
.

③当
时，
，此时
有两根，设为
、
，且
，则
，
，于是

.

当
时，
，
，所以
，此时
；当
时，
，所以
，
，此时
.

综上所述，当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
.其中
，
.

（Ⅱ）
，令
可得
.因为
，所以
有两根
和
，且
.

①当
时，
，此时
在
内有两根
和
，列表可得







1







+

0

-

0

+





递增

极小值

递减

极大值

递增



所以
在
内有极大值点1，极小值点
.

②当
时，
，此时
在
内只有一根
，列表可得













+

0

-

+





递增

极小值

递减

递增



所以
在
内只有极小值点
，没有极大值点.

③当
时，
，此时
（可用分析法证明），于是
在
内只有一根
，列表可得













+

0

-

+





递增

极小值

递减

递增



所以
在
内只有极小值点
，没有极大值点.

④当
时，
，此时
，于是
在
内恒大于0，
在
内没有极值点.

综上所述，当
时，
在
内有极大值点1，极小值点
；当
时，
在
内只有极小值点
，没有极大值点.当
时，
在
内没有极值点.

18、(1)．解：
，
………………………2分

当
时，
；当
时，

故
在
单增，在
上单减 …………………………………4分

若函数
在
上有极值点

须
解得

故实数
的范围是
…………………………6分

(2)证明：证法一：设
，则

， …………………………7分

求导化简得，
…………………9分

……………………………11分

在
上单增，故
………………13分

时，
………………14分

证法二:令

则
， 令
，则

当
时
，故
在
单增 ……………………8分

故
，故
在
上单增，故
……………………10分

令
，则
，当
时

故
在
上单增，故
………

……………12分

…………13分

时，


时，
、……14分

19、

20、解：（1）当
时，
，其定义域为（0，+∞）

，令

解得

又

当
时，

当
时，
，
函数
在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，

当
时，函数
取得最大值，即
，

所以函数
只有一个零点…………6分

（2）因为
，其定义域为（0，+∞）

所以

（1）当
时，

所以
在区间（0，+∞） 上为增函数，不合题意…………8分

（2）当
时，

即
，此时，
的单调减区间为
，依题意

得
…………10分

（3）当
时，

即
，此时
的单调减区间为
，依题意

得
…………12分

综上所述，实数
的取值范围是
……14分

21、解：
…………1分

（Ⅰ）由已知，得
且
，
………2分

----3分

（Ⅱ）当
时，

………4分

当
时，
又

………5分

22、解：（1）∵
，∴
，
，

∴函数
的图象在点（
）处的切线方程为
，--------------------------2分

∵直线
与函数
的图象相切，由
消去y得
，

则
，解得
-------------------------------------------4分

（2）当
时，∵
，

∴
，--------------------------------------------------5分

当
时，
，∴在
上单调递减，

，
-------------------------------------7分

则

，

∴

,故满足条件的最大整数
.----------------------------------9分

（3）不妨设
，∵函数
在区间[1,2]上是增函数，∴
，

∵函数
图象的对称轴为
，且
，∴函数
在区间[1,2]上是减函数，

∴
，--------------------------------------------------------------10分

∴
等价于
，

即
，------------------------------------------------11分

等价于
在区间