陕西师大附中高2014届高三第八次模考数学（理）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1.集合
，
，若
，则的值为( )

A.0 B.1 C.2 D.4

2.命题“对任意
，都有
”的否定为( )

A.对任意
，都有
B.对任意
，都有

C.存在
，使得
D.存在
，使

3.已知向量
，
，若
与
共线，则的值为( )

A.
B. C.
D.

4.对于函数
，下列选项中正确的是( )

A.
在
上是递增的 B.
的图像关于原点对称

C.
的最小正周期为
D.
的最大值为2

5.如图，若
时，则输出的数等于( )

A.

B.

C.

D.

6.某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其三视图如图所示（单位长

度：
，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮

的面积为（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）( )

A.
B.

C.
D.300

7.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表

广告费用（万元）

4

2

3

5



销售额（万元）

49

26

39

54



根据上表可得回归方程
中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售

额为( )

A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元

8.已知等比数列
的首项为
，公比为.则“
，
”是“
为递增数列”

的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么任取一个

三位数，它是渐升数的概率为( )

A.
B.
C.
D.

10.已知函数
，若
有且只有一个实数解，则的取值范围

是( )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11.设复数
，
，若
为纯虚数，则
.

12.设、满足约束条件：
，则
的最大值是 .

13.已知抛物线
的焦点是双曲线
的右焦点，且双曲线的右顶

点到点的距离为1，则
.

14.已知
，定义
，
，…，
，
.

经计算
，
，
，…，照此规律，则
.

15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

A.(不等式选做题) 已知、均为正数，且
，则
的最大值为 .

B.(几何证明选做题)如图，
是圆的切线，切点为，点、在圆上，
，

，则圆的面积为 .

C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，若过点
且与

极轴垂直的直线交曲线
于、两点，则
.

三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本题满分12分）如图，在梯形
中，
，
，
，
，

.

（Ⅰ）求
；（Ⅱ）求
的长度.

17.（本题满分12分）已知
是正项数列，
，且点
（
）在函数

的图像上.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若列数
满足
，
，求证：
.

18.（本题满分12分）为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”

活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，

满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照
，
，
，

，
的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列

出了得分在
，
的数据）．

（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的、的值；

（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取3名学生

参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的3名学生中得分在
内的学生

人数，求随机变量的分布列及数学期望．

19.（本题满分12分）如图，已知菱形
中，
.沿着对角线
将菱形

折成三棱锥
，且在三棱锥
中，
，为
中点．

（Ⅰ）证明：
平面
；（Ⅱ）求平面
与平面
夹角的余弦值．

20.（本题满分13分）如图，椭圆：
的右焦点为，右顶点、

上顶点分别为点、，且
.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若点
在椭圆内部，过点
的直线交

椭圆于、
两点，
为线段
的中点，且
.

求直线的方程及椭圆的方程.

21.（本题满分14分）

已知函数
，
的图像在点
处的切线为
．（
）.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）
，
，讨论函数
的单调性与极值；

（Ⅲ）若
，且
对任意
恒成立，求的最大值.

陕西师大附中高2014届高三第八次模考

数学（理）答题纸

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案























二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题号

11

12

13

14

15（A）

15（B）

15（C）



答案

















三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本题满分12分）

17.（本题满分12分）

18.（本题满分12分）

19.（本题满分12分）

20.（本题满分13分）

21.（本题满分14分）

陕西师大附中高2014届高三第八次模考

数学（理）参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

C

D

B

D

A

B

A

B

C



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

题号

11

12

13

14

15（A）

15（B）

15（C）



答案

2

3

10











三、解答题（本大题共6小题，共75分）

16.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）在
中，由正弦定理，得

，

.………………………………………6分

（Ⅱ）∵
，∴
，

，

在
中，由正弦定理，得
，

∴
.…………………………………………12分

17.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知得
，即
，又
，

所以数列
是以1为首项，公差为1的等差数列，故
.…4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
，从而
.

.………………………………………8分

因为

∴
.……………………………………………………………………12分

18.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，
，

.………………………………4分

（Ⅱ）由题意可知，分数在
内的学生有5人，分数在
内的学生有2人，

共7人.

抽取的3名学生中得分在
的人数的可能取值为1，2，3，则

，
，
.

1

2

3













所以的分布列为

…………………………………………………………………………………………10分

所以
.………………………………………………12分

19.（本题满分12分）

解：（Ⅰ）证明：由题设
，

连结
，
为等腰直角三角形，所以
，且
，

又
为等腰三角形，故
，且
，

从而
．所以
为直角三角形，
．

又
．所以
平面
.………………………………………6分

（Ⅱ）以为坐标原点，射线
分别为轴、轴的正半轴，

建立如图的空间直角坐标系
．

设
，则
，
，
.

，
.

设平面
的法向量
，

由
，令
，得
；

由（Ⅰ）可知
平面
，因此取平面
的法向量
.……10分

设平面
与平面
的夹角为，则
.…………………12分

20.（本题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知
，

即
，
，

，∴
.…………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，∴ 椭圆：
.

设
，
，

由
，
，可得
，

即
，

即
，从而
，

进而直线的方程为
，即
.…………………9分

由
，

即
.

.
，
.

∵
，∴
，

即
，
，
.

从而
，解得
，

∴ 椭圆的方程为
.…………………………………………………13分

21.（本题满分14分）

解：（Ⅰ）
，
.

由已知
，
.………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，

则
.

令