注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。

3．填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1.若
集合
，则集合
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 在复平面内，复数
的共轭复数的虚部为( )

A．
B．
C．
D．

3. 设
，则( )

（A）
（B）
（C）
（D）

4.下列命题正确的个数是（ ）

①“在三角形
中，若
,则
”的逆命题是真命题；②命题
或
，命题
则是的必要不充分条件；③“
”的否定是“
”；④若随机变量
，则
⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程.

A.1 B.2 C.3 D.4

5. 函数
为定义在上的偶函数，且当
时，
则下列选项正确的是（ ）

A.
B.
C.
D.

6.如图，
是半圆
的直径，
是弧
的三等分点，
是线 段
的三等分点，若
，则
的值是( )

（A） （B）
（C）
（D）

7. 已知函数
的零点分别为
，则( )

A．
B．
C．
D．

8. 假设在
秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )

A．
B．

C．
D．

10. 动点在函数
的图象上移动，动点
满足
，则动点
的轨迹方程为( )

A．
B．
C．
D．

11. 已知直线
与双曲线
交于，两点(，在同一支上),
为双曲线的两个焦点,则
在( )

A．以，为焦点的椭圆上或线段
的垂直平分线上

B．以，为焦点的双曲线上或线段
的垂直平分线上

C．以
为直径的圆上或线段
的垂直平分线上

D．以上说法均不正确

12. 已知函数
，
，若至少存在一个
，使得
成立，则实数的范围为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13.已知实数
满足
，若
的最大值为
则

14.在
的二项展开式中，
的系数为

15. 执行如右图所示的程序框图，输出的值为__ ___.

16. 已知直线
与曲线
相交于点
，

且曲线
在
处的切线平行，则实数的值为________．

三、解答题：本大题共6小题，满分70分．

17.已知函数

（1）求函数
的最大值，并写出
取最大值时的取值集合；

（2）在
中，角
的对边分别为
，若
求的最小值.

18. 某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于
分的有参赛资格，
分以下（不包括
分）的被淘汰.若有
人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如右图所示：

(1)写出获得参赛资格的人数；

(2)根据频率直方图，估算这
名学生测试的平均成绩；

(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有
次选题答题的机会，累计答对
题或答错
题即终止，答对
题者方可参加复赛.已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响.已知他连续两次答错的概率为
，求甲在初赛中答题个数
的分布列及数学期望
.

19. 如图，在直三棱柱
中，平面
⊥侧面
.

（1）求证：
；

（2）若直线
与平面
所成的角为
，二面角
的大小为 ，当
时，求
的值.

20. 已知椭圆
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为

半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设
是椭圆
上关于轴对称的任意两个不同的点，连接
交椭圆
于另一点，证明：直线
与轴相交于定点
；

（3）在（2）的条件下，过点
的直线与椭圆
交于
两点，求
的取值范围.

21. 已知函数
，其中常数
.

(1) 求
的单调增区间与单调减区间；

（2）若
存在极值且有唯一零点
，求
的取值范围及不超过
的最大整数.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做。则按所做的第一题记分．答题时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑.

22.（几何证明选讲） 已知，在
中，是
上一点，
的外接圆交
于点，
.（1）求证：
；

（2）若
平分
，且
，求
的长.

23.（极坐标系与参数方程）在平面直角坐标系
中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线
的参数方程为
（为参数），圆C的极坐标方程是＝1.

（1）求直线
与圆
的公共点个数；

（2）在平面直角坐标系中，圆
经过伸缩变换
得到曲线
，设
为曲线
上一点，求
的最大值，并求相应点
的坐标.

24. （不等式选讲）已知函数
.

（1）解不等式
； （2）若
，求证：

大庆实验中学2014届高三得分训练（三） 理科数学参考答案

选择题
填空题 13.
14.
15.
16.

17.解：(Ⅰ)

.

∴函数
的最大值为
.当
取最大值时

,解得
.

故的取值集合为
.……………………………………(6分)

(Ⅱ)由题意
,化简得

,
, ∴
, ∴

在
中,根据余弦定理,得
.

由
,知
,即
. ∴当
时,取最小值
.…(12分)

18.解： (Ⅰ)由频率分布直方图得,获得参赛资格的人数为500×(0.0050＋0.0043＋0.0032)×20＝125人.

(Ⅱ)设500名学生的平均成绩为,则＝ (×0.0065＋×0.0140＋×0.0170＋×0.0050＋×0.0043＋×0.0032)×20＝78.48分.……………………………..…………(6分)

(Ⅲ)设学生甲答对每道题的概率为
,则
,∴
＝.

学生甲答题个数
的可能值为3,4,5,

则
=

＝

＝
所以
的分布列为

3

4

5














＝×3＋×4＋×5＝.
＝×3＋×4＋×5＝.…. (12分)

19.解：（1）证明：如右图，作A在A1B上的射影D.

∵平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，?∴AD⊥BC，

∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BC.

又AA1∩AD=A，∴BC⊥侧面A1ABB1，AB侧面A1ABB1，

故AB⊥BC. ………6′

（2）〖法一〗联结CD，则由（1）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，

取A1C的中点E，连AE，DE，∵A1A=AC，A1A⊥BC，?∴AE⊥A1C，

又AD⊥A1C，∴A1C⊥平面ADE，∴A1C⊥DE，

∴∠AED是二面角B-A1C-A的平面角。即∠ACD=θ，∠AED=φ，

∴
，
，

∵A1A=AC=2BC=2，∴
，AE=

∴
.………6′

〖法二〗由（1）知，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标，

则A(0，，0)，C(1，0，0)，A1 (0，，2)，

∴
，
，

设平面A1BC的一个法向量为
，

平面AA1C的一个法向量为
，

则
，∴

取
，

由
，得
，

取

∴
，

，
∴
.………12′

20.解：（1）
…………………………………2分

（2）由题意可知
存在且不为0.

消得
，

令
则
，…………………………………4分

所以

令
，由韦达定理化简得
，

所以直线
与轴相交于定点

. …………………………………7分

21.解:（1）
……………………………………1分

当
时，
，函数
为增函数.、………3分

②当
时，
，其中
……4分

的取值变化情况如下表：





























单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增



………………………………………………………………………………………6分

综合①②知当
时，
的增区间为
，无减区间；

当
时，
的增区间为
与
，

减区间为
…………………7分

（2）由(1)知当
时，
无极值；…………………………………………………8分

当
时，
知

的极大值
，
的极小值
，

故
在
上无零点. ……………………………………………