第I卷(选择题，共50分)

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分。共50分．把正确答案涂在答题卡上.

1.已知集合
，则C元素个数是

A.2 B.3 C.4 D.5

2.已知
的充分不必要条件，则实数的取值范围

A.
B.

C.
D.

3.已知向量
等于

A.3 B.
C.
D.

4.执行右图的程序框图，任意输入一次
，则能输出数对
的概率为

A.
B.

C.
D.

5.下列说法正确的个数是

①“在
中，若
”的逆命题是真命题；

②“
”是“直线
和直线
垂直”的充要条件；

③“三个数
成等比数列”是“
”的既不充分也不必要条件；

④命题“
”的否定是“
”

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知各项均不为零的数列
，定义向量
，则下列命题中是真命题的是

A.若对任意的
，都有
成立，则数列
是等差数列

B.若对任意的
，都有
成立，则数列
是等差数列

C.若对任意的
，都有
成立，则数列
是等差数列

D.若对任意的
，都有
成立，则数列
是等比数列

7.已知非零向量
满足
，则
为

A.等腰非等边三角形 B.等边三角形

C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形

8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为
，已知他投篮一次得分的期望是2，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

9.设不等式组
表示的平面区域为D.若圆
经过区域D上的点，则r的取值范围是

A.
B.

C.
D.

10.设
是定义在R上的偶函数，对
，都有
时，
，若在区间
内关于的方程
恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡相应的位置上.

11.复数
在复平面内所对应的点在实轴上，那么实数
___________.

12.若
的值为____________.

13.函数
相交于A，B两点，且
最小值为，则函数
的单调增区间是___________.

14.如图，
是椭圆
与双曲线
的公共焦点，A，B分别是
在第二、四象限的公共点.若四边形
为矩形，则
的离心率是_________.

15.关于函数
，有下列命题：

①其图象关于y轴对称；

②当
是增函数；当
是减函数；

③
的最小值是
；

④
在区间
上是增函数；

⑤
无最大值，也无最小值.

其中所有正确结论的序号是_____________.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知锐角
中内角A、B、C的对边分别为
.

（I）求角C的值；

（II）设函数
，且
图象上相邻两最高点间的距离为，求
的取值范围.

17.（本小题满分12分）

李先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有
两条路线（如图），
路线上有
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；
路线上有
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
.

（I）若走
路线，求最多遇到1次红灯的概率；

（II）若走
路线，求遇到红灯次数的X的数学期望；

（III）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.

18.（本小题满分12分）

如图，在底面是正方形的四棱锥
面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点.

（I）求证：
；

（II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；

（III）当二面角
的大小为
时，求PC与底面ABCD所成角的正切值.

19.（本小题满分12分）

已知数列
是首项为
的等比数列，设
，数列
满足
.

（I）求数列
的前n项和
；

（II）若
对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）

以椭圆
的中心O为圆心，
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足
.

（I）求椭圆C及其“准圆”的方程；

（II）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当
时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数

（I）若
上的最大值；

（II）证明：对任意的正整数n，不等式
都成立；

（III）是否存在实数
，使得方程
内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.