湖南省怀化市2014年高三第二次模拟考试统一检测试卷

数 学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.

1．复数
的模为

A.1 B.
C. 2 D.

2．设
是集合到集合的映射，若A=
，则
为

A．
B．
C．
D．

3．下列有关命题的说法中错误的是

A．若
为真命题，则、均为真命题.

B．若命题
则命题
为
.

C．
是
的充分不必要条件.

D．
的必要不充分条件是
.

4．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体

的体积为24，则正视图中的值为

A. 8 B. 6

C. 4 D. 2

5．已知
都是正实数，函数
的图象过(0,1)点，则
的最小值是

A．
B．
C．4 D．2

6．将函数
的图象沿轴向左平移
个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为

A．
B．
C．
D．

7．若
,且
,则
与
的夹角是

A.
B.
C.
D.

8.已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点重合,则该双曲线的焦点

到其渐近线的距离为

A.
B.
C.3 D.5

9.一个算法的程序框图如右，则其输出结果是

A．0 B．

C．
D．

10．设定义域为
的单调函数
，对任意的
，都有
,

若
是方程
的一个解，则
可能存在的区间是

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 把答案填在答题卡上的相应横线上.

11．已知等比数列
的公比
,其前4项和
,则
.

12．在平面直角坐标系
中，已知曲线
（
为参数），将曲线
上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的
、2倍后得到曲线
的直角坐标方程为 .

13．一只昆虫在边长分别为5，12，13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为 .

14．已知实数
满足约束条件
,则
的最小值是 .

15．已知
且

当
时,
； 当
时，
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为1，顶角为
的等腰三角形.

(Ⅰ)若角
时，求该八边形的面积；

(Ⅱ)写出的取值范围，当取何值时该八边形的面积最大，

并求出最大面积.

17．(本小题满分12分)

2013年11月，青岛发生输油管道爆炸事故造成胶州湾局部污染．国家海洋局用分层抽样的方法从国家环保专家、海洋生物专家、油气专家三类专家库中抽取若干人组成研究小组赴泄油海域工作，有关数据见表1（单位：人）

海洋生物专家为了检测该地受污染后对海洋动物身体健康的影响，随机选取了110只海豚进行了检测，并将有关数据整理为不完整的
列联表，如表2．

（Ⅰ）求研究小组的总人数；

（Ⅱ）写出表2中A,B,C,D,E的值，并判断有多大的把握认为海豚身体不健康与受到污染有关；

（Ⅲ）若从研究小组的环保专家和海洋生物专家中随机选2人撰写研究报告，求其中恰好有1人为环保专家的概率．

附：①
其中

②

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001





2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





18．(本小题满分12分)

如图，在直三棱柱
中,
，
，且异面直线
与
所成的角等于
．

（Ⅰ）求棱柱的高；

（Ⅱ）求
与平面
所成的角的大小．

19．(本小题满分13分)

已知数列
满足
，向量
，
且
.

（Ⅰ）求证数列
为等差数列，并求
通项公式；

（Ⅱ）设
，若对任意
都有
成立，求实数的取值范围．

20．(本小题满分13分)

如图，椭圆
的长轴长为4，点
为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，
过中心
，且
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设
是椭圆上位于直线
同侧的

两个动点（异于
），且满足
，

试讨论直线
与直线
斜率之间的关系,

并求证直线
的斜率为定值．

21．(本小题满分13分)

设函数
，

（Ⅰ）当
时，求函数
在区间
内的最大值；

（Ⅱ）当
时，方程
有唯一实数解，求正数的值．

2014年怀化市高三第二次模拟考试统一检测试卷

文科数学参考答案与评分标准

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

C

D

B

A

B

D

A

B

B



10题解：由题易知
为常数，令
(常数),则
,由
得
.又
所以k=2,所以
.再用零点存在定理验证.

二、填空题：

11． 8 ；　　　12．
； 13．
； 14．
；

15． 12 ；
.

三、解答题

16解：（Ⅰ）由题可得正方形边长为
……………………… 2 分

……………………… 5 分

（Ⅱ）显然
，所以
……………………… 6 分

=
……………………… 9 分

， 故
…………… 10 分

此时
……………………… 12 分

17解：（Ⅰ）x=2，y=4，总人数2+4+6=12……………………… 3 分

（Ⅱ）A=20，B=50，C=80，D=30，E=110……………………… 6 分

，大约有99％的把握.……… 8 分

（Ⅲ）(列举略)
……………………… 12 分

18解: (1)
,

………… 2 分

又
,

为正三角形,
………… 4 分

所以棱柱的高
=
……………… 6 分

(2)连接
,

,
面
,

即为所求. ………………… 9 分

在
中,
,
…………… 12 分

19解：（1）因为
，所以
………………… 2 分

即
,
……………………… 4 分

所以数列
为等差数列，……………………… 5 分

且
，
……………… 6 分

（2）可知
，令
得
………… 8 分

即当
都有
，……………………… 9 分

而
，故
……………………… 10分

从而
，解得
……………………… 13 分

20解: (1)
……………… 2 分

又
是等腰三角形, 所以
……………………… 3 分

把B点带入椭圆方程
,求得
.……………… 4 分

所以椭圆方程为
……………………… 5 分

(2)由题易得直线BP、BQ斜率均存在,

又
,所以
……………………… 7 分

设直线
代入椭圆方程
,

化简得
………………… 9 分

其一解为1,另一解为
……………………… 10 分

可求
……………………… 11 分

用
代入得
……………………… 12 分

为定值. ……………………… 13 分

21解:(1)
. …………………… 1 分

令
得
. 因为
时
,
时
,

所以
在
递增,在
递减 ………………… 3分

当
即
时,
在
上递减,

所以
时
取最大值
……………… 4 分

当
即
时,
在
递增,在
递减,

所以
时,
取最大值
……………… 5 分

③当
即
时,
在
递增,

所以
时
取最大值
……………… 6 分

(2)因为方程
有唯一实数解,即
有唯一实数解,

设
,则
…………… 8 分

令
,
.因为
,

所以
(舍去),
………… 9 分

当
时
,
在
上单调递减,当
时
,

在
上单调递增, 所以
最小值为
. …………… 10 分

则
,即

所以
即
…………………… 12 分

设
,
恒成立,故
在
单调递增,

至多有一解.

又
,所以
,即
,解得
…………………… 13 分