湖南师大附中2014届高三高考模拟卷（一）

数学（理）试题

命题：湖南师大附中高三数学备课组

（考试范围：高中理科数学全部内容）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟。满分150分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1．已知全集为R，集合
，则
等于

A．
B．
C．{－1} D．{0，1}

2．设a，b是非零实数，若a

A．a2

3．设m、n是两条不同的直线，、
是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是

4．设
是奇函数，则使
的x的取值范围是

A．（－1，0） B．（0，1）

C．（－,0） D．（－,0）U（1,+）

5．设
为虚数单位），则集合
中元素

的个数是

A．1 B．2

C．3 D．4

6．为调查某市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间x（单位：分钟），撩锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上有10 000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6 200，则平均每天参加体育锻炼时间在0—20分钟内的学生的频率是

A．3 800

B．6 200

C．0．62

D．0．38

7．若变量z，y满足约束条
则
的最大值为

A．6 B．5 C．4 D．3

8．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：

①
；②（
；③
；

④
．其中“互为生成函数”函数的是

A①② B．②③ C．①④ D．③④

9．设M（x0，y0）为抛物线C:x2 =8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相变，则yo的取值范围是

A（0,2） B．[0,2] C．（2,+∞） D．[2,+）

10．对数列
，如果

则称
为k阶递归数列．给出下列三个结论：

①若
是等比数列，则
为1阶递归数列；

②若
是等差数列，则
为2阶递归数列；

③若数列
的通项公式为an=n2，则
为3阶递归数列．

其中正确结论的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）

11．如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD是⊙O的切线，若∠B=30°，

AC=1，则AD的长为 ．

12．已知a∈R，若关于x的方程
有实根，则a的取值范围是 。

13．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为
，则曲线C1 与C2交点的极坐标为 ．

（二）必做题（14至16题）

14．
。

15．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重

（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数

据可知体重的平均值为 kg,若要从体重在[60，70），

[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方

法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队

长，则这两人体重不在同一组内的概率为 。

16．已如数列
表示集合TA中元素个数．

（1）若A：l，3，5，7，9，则card（TA） ；

（2）若
为常数，
），则card（TA）= 。

三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9 000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为
，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（1）获赔的概率，

（2）获赔金额
的分布列与期望．

18．（本题满分12分）

如图，已知三棱柱ABC—A1B1Cl的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足

(1)当
取何值时，直线PN与平面ABC所成的角
最大？

(2)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

19．（本题满分12分）

已知数列
中a1=a，a2=t（常数t>0），Sn是其前n项的和，且

（1）求a的值；

（2）试确定数列
是否是等差数列，若是，求其通项公式；若不是，说明理由；

（3）令
，证明：
．

20．（本题满分13分）

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超遵投资收益的20%．

（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；

（2）现有两个奖励函数模型：①
；②
．试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21．（本题满分13分）

已知双曲线
的左、右顶点分别为A1和A2 ,M（x1，一y1）和N（x1，y1）是双曲线上两个不同的动点．

（1）求直线A1M与A2N交点Q的轨迹C的方程；

（2）过点P（l，0）作斜率为k（k≠0）的直线
交轨迹C于A、B两点，

①求
·
的取值范围；

②若
，问在x轴上是否存在定点E，使得
⊥
?若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由，

22．（本题满分13分）

已知a>0，函数
．

（1）求函数
的单调区间；

（2）若A、B是曲线y=
上的任意不同两点，其横坐标分别为m、n，曲线y=
在x=t处的切线与直线AB平行，求证：m+n>2t．