高三数学（理）

本试卷共4页，分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．

第I卷（选择题共50分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔。

4．不按以上要求作答以及将答案写在试题卷上的，答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z满足
，则z的虚部为

A．
B．
C．
D．

2．设集合
，则

A.(1,2) B.[1,2] C.(1,2] D.[1,2)

3．下列结论正确的是

A.若向量a∥b，则存在唯一的实数
使

B.已知向量a，b为非零向量，则“a，b的夹角为钝角”的充要条件是“ab<0’’

c．“若
，则
”的否命题为“若
，则
”

D．若命题
，则

4．已知
为
的导函数，则
的图象大致是

5．已知
表示平面，m，n表示直线，
，给出下列四个结论：

①
；②
；③
；④
，

则上述结论中正确的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数
，执行右边的程序框图，若输出的结果是
，则

判断框中的条件应是

A.
B．

C．
D．

7．已知双曲线
的左、右焦点分别是
、
过

垂直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若

为正三角形，则该双曲线的离心率为

A．
B．

C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接

球的表面积为

A．
B．

C．
D．

9．在区间[-3，3]上任取两数x，y，使

成立的概率为

A．
B．

C ．
D．

10．已知定义在R上的函数
对任意的x满足
，当-l≤x

时，
．函数
若函数在
上有6个零点，则实数a的取值范围是

A．
B.

C.
D．

第Ⅱ卷 （非选择题共1 00分）

注意事项：

将第Ⅱ卷答案用0. 5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上，

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

1 1．已知
是夹角为
的两个单位向量，若向量
，则
________.

12.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂

红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的

涂法种数共有_________．（用数字作答）

13.已知抛物线
上一点
，若P到焦点F的距离为4，则以P为圆心且与抛物线C的准线相切的圆的标准方程为_________．

14．曲线
在点
处的切线分别为
,设
及直线 x-2y+2=0围成的区域为D(包括边界)．设点P(x，y)是区域D内任意一点，则x+2y的最大值为________.

15.如右图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东
，与

观测站A距离
海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时

后，又测得该货船位于观测站A东偏北
的C处，且

，已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为

海里／小时___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数
的振幅为2，其图象的相邻两个对称中心之间的距离为
．

(I)若
，求sina；

(Ⅱ)将函数
的图象向右平移
个单位得到
的图象，若函数

是在
上有零点，求实数
的取值范围．

17．（本小题满分1 2分）

直三棱柱
中，
，

与
交于一点P，延长
到D，使得BD=

AB，连接DC，DA，得到如图所示几何体．

(I)若AB=1，求证：BP∥平面ACD,

(Ⅱ)若直线
与平面
所成的角为
，求

二面角
的余弦值．

18．（本小题满分12分）

某超市制定“五一”期间促销方案，当天一次性购物消费额满1000元的顾客可参加“摸球抽奖赢代金券”活动，规则如下：

①每位参与抽奖的顾客从一个装有2个红球和4个白球的箱子中逐次随机摸球，一次只摸出一个球；

②若摸出白球，将其放回箱中，并再次摸球；若摸出红球则不放回，工作人员往箱中补放一白球后，再次摸球；

③如果连续两次摸出白球或两个红球全被摸出，则停止摸球．

停止摸球后根据摸出的红球个数领取代金券，代金券数额Y与摸出的红球个数x满足如下关系：Y=144+72x(单位：元)．

(I)求一位参与抽奖顾客恰好摸球三次即停止摸球的概率；

(Ⅱ)求随机变量Y的分布列与期望．

19．（本小题满分12分）

已知等差数列
;等比数列
，

．

(I)求数列
和数列
的通项公式；

(Ⅱ)设
，求数列
的前n项和
．

20.（本小题满分13分）

如图，椭圆
的短轴长为2，点P

为上顶点，圆
将椭圆C的长轴三等分，直线

与椭圆C交于A、B两点，PA、PB与圆O

交于M、N两点．

(I)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求证△APB为直角三角形；

(Ⅲ)设直线MN的斜率为n，求证：
为定值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

( I)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)a>l，证明：当
时，
；

(Ⅲ)若对任意
，且当
时，有
，求a的取值范围，